Integration mit substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Do 29.03.2007 | | Autor: | doener |
| Aufgabe | berechne I(z) = [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-(x-\bruch{z}{x})^{2}} dx}, [/mm] z [mm] \ge [/mm] 0
Hinweise:
1. man starte mit der substitution u = [mm] \bruch{z}{x}
[/mm]
2. man vergleiche das resultat mit I(z) |
also das mit der substitution hab ich noch hingekriegt:
u = [mm] \bruch{z}{x} \gdw [/mm] x = [mm] \bruch{z}{u} \gdw [/mm] dx = [mm] -\bruch{z}{u^{2}}du
[/mm]
somit I(z) = - [mm] \integral_{\infty}^{0}{\bruch{z}{u^{2}}*e^{-(\bruch{z}{u}-u)^{2}} du} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{z}{u^{2}}*e^{-(u-\bruch{z}{u})^{2}} du} [/mm]
nun begreiffe ich aber den 2. punkt nicht:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{(1+\bruch{z}{u^{2}})*e^{-(u-\bruch{z}{u})^{2}} du} [/mm] = 2I(z)
diesen schritt verstehe ich nicht! (zu dieser aufgabe wurde eine musterlösung abgegeben, dieser schritt wird allerdings nicht erklärt!)
|
|
| |
|
Hallo!
Du weisst ja von deiner Substitution, dass [mm] $I(z)=\int_0^\infty \frac [/mm] z [mm] {u^2} e^{-\left(u-\frac zu\right)}\,du$. [/mm] Ausserdem ist ja schon nach Voraussetzung [mm] $I(z)=\int_0^\infty e^{-\left(u-\frac zu\right)}\,du$ [/mm] (du musst nur $x$ durch $u$ ersetzen). Jetzt addiere einfach beide Gleichungen. Dann erhaeltst du:
[mm] $2I=\int_0^\infty e^{-\left(u-\frac zu\right)}\,du+\int_0^\infty \frac [/mm] z [mm] {u^2} e^{-\left(u-\frac zu\right)}\,du=\int_0^\infty \left(1+\frac z {u^2} \right)e^{-\left(u-\frac zu\right)}\,du$.
[/mm]
Verstehst du den Rechenschritt jetzt?
Gruss, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 Sa 31.03.2007 | | Autor: | doener |
super! vielen dank!
|
|
|
|
