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| Aufgabe | [mm] \integral_{0}^{ln4}{\bruch{e^{x}}{e^{2x}+2e^{x}+2} dx}
[/mm]
Substitution mit u = [mm] e^{x} [/mm] ist vorgegeben. |
Hallo zusammen,
ich hab hier eine kleine Integrationsaufgabe.
Bisher habe ich das gemacht:
[mm] u=e^{x} \to \bruch{dx}{du} [/mm] = [mm] \bruch{1}{u} \to [/mm] dx = [mm] \bruch{du}{u}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{4}{\bruch{1}{u^{2}+2u+2} du}
[/mm]
Hier komme ich nicht mehr weiter. War das bisher gerechnete falsch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke für eure Antworten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Sa 09.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\integral_{0}^{ln4}{\bruch{e^{x}}{e^{2x}+2e^{x}+2} dx}[/mm]
>
> Substitution mit u = [mm]e^{x}[/mm] ist vorgegeben.
> Hallo zusammen,
>
> ich hab hier eine kleine Integrationsaufgabe.
> Bisher habe ich das gemacht:
> [mm]u=e^{x} \to \bruch{dx}{du}[/mm] = [mm]\bruch{1}{u} \to[/mm] dx =
> [mm]\bruch{du}{u}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{4}{\bruch{1}{u^{2}+2u+2} du}[/mm]
>
> Hier komme ich nicht mehr weiter. War das bisher gerechnete
> falsch?
Einen Fehler hast Du: es sollte
[mm]\integral_{1}^{4}{\bruch{1}{u^{2}+2u+2} du}[/mm]
lauten.
Es ist [mm] u^{2}+2u+2=(u+1)^2+1. [/mm] Substituiere v=u+1
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Danke für eure Antworten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Sa 09.08.2014 | | Autor: | saibot187 |
Vielen Dank! Ergebnis ist arctan(5)-arctan(2)
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| Aufgabe | Ich habe auch eine Frage dazu:
Wollte die Aufgabe auch spaßeshalber rechnen, komme aber auf komisches Zeug - v. a. wenn ich mir die mit Wolframalpha ermittelte Lsg. anschaue.
Wo sind meine Fehler?
(ich rechne alles als unbestimmtes Integral...)
(EDIT: Fehler schon gefunden - "Potenzprobleme"! Wäre das weitere Vorgehen trotzdem richtig ab Stelle (*) ? |
Subst.:
[mm] u:=e^x
[/mm]
->
[mm] \integral{\bruch{u}{ue^2+2u+2} dx} [/mm]
Subst. Differential:
[mm] du/dx=e^x [/mm] <=> du=e^xdx
-> ...[mm] \integral{\bruch{1}{ [red] u [/red] e^2+2u+2} du} [/mm]
(*) hier ist der Fehler: ich komme auf [mm] ue^2..., [/mm] weil bei mir e^(2x) fälschlicherweise [mm] e^x*e^2 [/mm] war...statt [mm] (e^x)^2->u^2
[/mm]
weitere Subst.:
v:= [mm] ue^2+2u+2
[/mm]
-> ...[mm] \integral{\bruch{1}{v} du} [/mm]
Subst. Differential:
[mm] dv/du=e^2+2 [/mm] <=> dv= [mm] (e^2+2)du
[/mm]
-> ...[mm] 1/(e^2+2) \integral{\bruch{1}{v} dv} = 1/(e^2+2)*ln| ue^2+2u+2 | [/mm]
Mit Resubstitutionen komme ich auf die Stammfktn
[mm] 1/(e^2+2)*ln| e^{2x}+2e^x+2 | [/mm]
Leite ich dies zur Probe nach x ab, kommt nicht der Integrand heraus...
Ist es ab dem Fehler richtig?
[mm] [/mm]
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Hallo,
wenn ich Dich richtig verstehe, möchtest Du wissen, ob Du
[mm] \integral\bruch{1}{u*e^2+2u+2}
[/mm]
richtig berechnest.
>
> v:= [mm]ue^2+2u+2[/mm]
>
> -> ...
[mm] \integral\bruch{1}{u*e^2+2u+2} [/mm] =
> [mm] \integral{\bruch{1}{v} du} [/mm]
>
> Subst. Differential:
>
> [mm]dv/du=e^2+2[/mm] <=> dv= [mm](e^2+2)du[/mm]
>
> -> ...= [mm] 1/(e^2+2) \integral{\bruch{1}{v} dv} [/mm]
= [mm] 1/(e^2+2)* [/mm] ln(v)
Resub mit v:= [mm]ue^2+2u+2[/mm] ergibt
> = [mm] 1/(e^2+2)*ln| ue^2+2u+2 [/mm] |
Wenn ich das nach u ableite, bekomme ich [mm] 1/(e^2+2)*\bruch{e^2+2}{ ue^2+2u+2}=\bruch{1}{ ue^2+2u+2},
[/mm]
und alles ist in bester Ordnung.
Daß Dein Tun wegen des von Dir bemerkten Fehlers Dir nicht das im Eingangspost gefragte Integral liefert, ist Dir ja inzwischen klar.
LG Angela
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Richtig verstanden. Danke!
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