Integration mit Partialbruch? < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \int_{0}^{2} \bruch {x+2} {x^2+4x+3}\, dx [/mm]
Berechnen sie das Integral |
Also mit Substitution etc. hab ich es jetzt gar nicht erst probiert.
Mein Ansatz ist leider etwas in die Knie gegangen, da ich [mm] x^2+4x+3[/mm] nicht so ganz aufgedröselt kriege.
Kann mir wer weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Sesqui
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Hallo Sesquilinearform!
Dein Stichwort "Partialbruch" ist schon völlig richtig. Den Nenner kannst Du in seine Linearfaktoren mittels der  p/q-Formel zerlegen.
Damit erhält man dann: [mm] $\bruch{x+2}{x^2+4x+3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x+2}{(x+1)*(x+3)}$
[/mm]
Kommst Du nun alleine weoter?
Gruß vom
Roadrunner
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| Aufgabe | [mm] \int_{0}^{2} \bruch [/mm] {x+2} [mm] {x^2+4x+3}\, [/mm] dx
Berechnen Sie das Integral. |
Ich habe jetzt deinen Schritt nachvollzogen und hab das gleiche raus. Vielen Dank.
dann hab ich folgendermaßen weitergemacht:
[mm] \bruch {x + 2} {(x+1) * ( x+3)} = \bruch {a}{x+1} + \bruch {bx+c}{x+3} [/mm]
Hoffe das stimmt soweit erstmal? Ich bin mir recht unsicher wieviele a's b's und c's ich immer so brauche bei dieser Sache. Denke da aber der Grad des Polynoms x² ist müsste das mit zwei Brüchen reichen. Aber wieso brauch ich dann noch ein c?
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Hallo Sesquilinearform,
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> dann hab ich folgendermaßen weitergemacht:
>
> [mm]\bruch {x + 2} {(x+1) * ( x+3)} = \bruch {a}{x+1} + \bruch {bx+c}{x+3}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Den Ansatz mit bx+c brauchste, wenn du im Nenner des zu zerlegenden Bruchs ein quadratisches Polynom mit nicht reeller, also rein-komplexer NST hast.
Hier brauchst du den Ansatz: [mm] $\frac{x+2}{(x+1)\cdot{}(x+3)}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x+3}$
[/mm]
Dann $a,b$ berechnen durch Koeffizientenvergleich...
Ich habe aber noch eine ganz andere ![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]") für dieses Integral, die ohne PBZ und Substitution auskommt.
Das Integral [mm] $\int{\frac{x+2}{x^2+4x+3}\,dx}$ [/mm] ist doch schon fast ein logarithmisches Integral, also eines der Bauart [mm] $\int{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}$
[/mm]
Das hat bekanntlich die Stammfunktion [mm] $\ln|f(x)|$
[/mm]
Hier bedarf es also nur einer kleinen Umformung, dann ist man schon am Ziel:
[mm] $\int{\frac{x+2}{x^2+4x+3}\,dx}=\int{\red{\frac{2}{2}\cdot{}}\frac{x+2}{x^2+4x+3}\,dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{2x+4}{x^2+4x+3}\,dx}=\frac{1}{2}\ln|x^2+4x+3|$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Di 25.09.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo schachuzipus!
> Ich habe aber noch eine ganz andere für dieses
> Integral, die ohne PBZ und Substitution auskommt.
So ganz ohne Substitution kommst Du hier aber auch nicht aus ... schließlich steckt diese (versteckt) genau hinter dem "Trick" des logarithmischen Integrales.
Gruß vom
Roadrunner
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Also ich find die Ideen ja ganz toll, aber ich glaube wenn ich nächste Woche meine Matheklausur darin verzapfe, dann werd ich auf solche schlauen Dinge nicht so schnell kommen. Aus diesem Grund wollte ich den Weg der PBZ näher verfolgen, damit ich das Werkzeug beherrsche.
Hab jetzt folgendermaßen weiter gemacht:
[mm] \bruch {x+2}{(x+1)*(x+3)} = \bruch {a}{x+1} + \bruch {b}{x+3} [/mm]
Jetzt das Ganze auf einen Nenner:
[mm] \bruch {x+1}{(x+1)*(x+3)} = \bruch {a*(x+3) + b*(x+1)}{(x+1)*(x+3)} [/mm]
Dann kürzt sich der Nenner weg.
bleibt [mm] x+2 = a*(x+3) + b*(x+1) [/mm]
Ich weiß jetzt, dass man noch nach 1, x, x² usw. die Terme anordnen muss und dann kann man durch die Gleichungen a und b bestimmen. Kann mir da einer ne Schritt für Schritt Erklärung geben?
Auf jeden Fall vielen vielen dank dafür!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Di 25.09.2007 | | Autor: | Blech |
> [mm]\int_{0}^{2} \bruch{x+2}{x^2+4x+3}\ dx [/mm]
> Also mit Substitution etc. hab ich es jetzt gar nicht erst probiert.
Probier mal [mm]y:=x^2 + 4x +3[/mm]
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Sorry, aber das Hilft mir ja jetzt gar nicht.
Das kann man ziemlich leicht aufleiten, weil man das einzeln für sich integrieren kann.
Aber wenns im Nenner steht gilt das doch gar nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Di 25.09.2007 | | Autor: | Blech |
> Sorry, aber das Hilft mir ja jetzt gar nicht.
Vielleicht würde es Dir mehr helfen, wenn Du es einfach mal einsetzen würdest.
> Das kann man ziemlich leicht aufleiten, weil man das
> einzeln für sich integrieren kann.
Du sollst es nicht integrieren, Du sollst es substituieren. Eine Idee, die Du zugunsten einer wesentlich komplizierteren Lösung gleich am Anfang verworfen hast.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Di 25.09.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Sesqui!
Stimmt, hier funktioniert es tatsächlich auch mit der o.g. Substitution. Denn wenn Du den Bruch hier mit $2_$ erweiterst, hast Du im Zähler die Ableitung des Nenners:
[mm] $$\integral{\bruch{x+2}{x^2+4x+3} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\integral{\bruch{2*(x+2)}{x^2+4x+3} \ dx}\ [/mm] = \ [mm] \bruch{1}{2}*\integral{\bruch{2x+4}{x^2+4x+3} \ dx} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Kann mir da einer ne Schritt für Schritt
