Integration im 3-dim. Raum < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen sie folgendes Integral:
[mm] \integral{\bruch{1}{(2\pi)^{3}}e^{i\vec{k}\vec{r}}\bruch{4\pi}{k^{2}} d^{3}k} [/mm] |
Ich habe hier zunächst eine Transformation in Kugelkoordinaten vorgenommen:
Mit
[mm] k_{x}=k*sin(\alpha)*cos(\beta)
[/mm]
[mm] k_{y}=k*sin(\alpha)*sin(\beta)
[/mm]
[mm] k_{z}=k*cos(\alpha)
[/mm]
[mm] x=r*sin(\alpha')*cos(\beta')
[/mm]
[mm] y=r*sin(\alpha')*sin(\beta')
[/mm]
[mm] z=r*cos(\alpha')
[/mm]
erhalte ich dann:
[mm] \integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{\pi}\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{(2\pi)^{3}}e^{ikr(sin(\alpha)*cos(\beta)sin(\alpha')*cos(\beta')+sin(\alpha)*sin(\beta)sin(\alpha')*sin(\beta')+cos(\alpha)cos(\alpha'))}\bruch{4\pi}{k^{2}} k^{2} sin(\alpha) d\beta d\alpha dk}
[/mm]
Umformen:
[mm] \integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{\pi}\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{4\pi}{(2\pi)^{3}}e^{ikr(sin(\alpha)*sin(\alpha')(cos(\beta)*cos(\beta')+sin(\beta)*sin(\beta'))+cos(\alpha)cos(\alpha'))} sin(\alpha) d\beta d\alpha dk}
[/mm]
An dieser Stelle wurde mir gesagt, dass man das k-Koordinatensystem so legen soll, dass [mm] k_{x} [/mm] auf die z-Achse des Ortskoordinatensystems fällt.
Kann mir jemand an dieser Stelle erklären, wie diese Transformation funktioniert. Ich komme irgendwie nicht dahinter, obwohl ich den Eindruck habe, dass es nicht allzu schwer sein sollte :-( .
Schon mal vielen Dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:07 Di 06.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Bei Deinen viele k's und r's in ganz unterschiedlichen Bedeutungen wird mir schwindelig !
Einmal schreibst Du [mm] e^{i\vec{k}\vec{r}}. [/mm] Die Pfeile riechen nach Vektoren.
Weiter unten schriebst Du [mm] e^{ikr}, [/mm] ohne Pfeile !
Was ist r ? Was ist k ? Was ist [mm] \vec{k} [/mm] ? Was ist [mm] \vec{r}
[/mm]
Unterm Integral steht der Faktor [mm] \bruch{4\pi}{k^{2}}. [/mm] Ist k [mm] \in \IR [/mm] ?
Dann schreibst Du $d^3k.$ Welche bedeutung hat hier k ?
Noch eine Frage: worüber soll denn eigentlich integriert werden ?
[mm] \integral_{????}{\bruch{1}{(2\pi)^{3}}e^{i\vec{k}\vec{r}}\bruch{4\pi}{k^{2}} d^{3}k}
[/mm]
FRED
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Hallo Fred,
leider kann ich für die unterschiedlichen k und r auch nichts dafür, da so uns die Aufgabe gestellt wurde. Ich habe lediglich die Aufgabenstellung 1 zu 1 wiedergegeben.
Für k müsste k [mm] \in \IR [/mm] gelten. (War aber leider auch nicht angegeben). [mm] d^{3}k [/mm] stellt das Volumenintegral dar, sprich [mm] d^{3}k=dk_{x}dk_{y}dk_{z}. [/mm] Der Vektor k ist ein dreidimensionaler Vektor mit Werten für [mm] dk_{x}dk_{y}dk_{z}. [/mm] Gleiches gilt für r. Weiter unten wird dementsprechend k und r ohne Vektor geschrieben, da diese aus der Transformation in Kugelkoordinaten stammen.
Die Integration soll über den gesamten Raum stattfinden.
Grüße
Daniel
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Hallo!
Man müßte noch wissen, was [mm] \vec{k} [/mm] und [mm] \vec{r} [/mm] denn nun darstellen sollen, bzw., wie ihre Ortsabhängigkeit aussieht.
Wenn [mm] \vec{k} [/mm] im gesamten Raum konstant ist, liegt es nahe, ein Koordinatensystem zu wählen, in welchem [mm] \vec{k} [/mm] parallel zu einer Achse ist, z.B. [mm] \vec{k}=k_0*\vektor{0\\0\\1} [/mm] (Ich schreib das mal so, sonst kommt man noch durcheinander.)
Damit schmilzt dein Integral schonmal deutlich zusammen, und eine Integration gelingt schon in karth. Koordinaten.
Dabei wird dir das Integral allerdings um die Ohren fliegen. Daher muß was anderes dahinter stecken.
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