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Integration gebrochenrat. Fkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:55 Mo 18.06.2007
Autor: sulemann

Aufgabe
Integral der Funktion [mm] (4x-x^3)/(x^2+2) [/mm] mit den Grenzen 0 und 2

Mit welchem Trick bzw. welcher Rechenregel (wenn ich sie übersehen habe) kommt man hier zum Ergebnis?

Habe schon ausprobiert:
partielle integration. integration durch substitution. partialbruchzerlegung. polynomdivision. aber ich komme nicht weiter oder ich habe mich bisher immer   verrechnet

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Integration gebrochenrat. Fkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:25 Mo 18.06.2007
Autor: Somebody


> Integral der Funktion [mm](4x-x^3)/(x^2+2)[/mm] mit den Grenzen 0
> und 2
>  Mit welchem Trick bzw. welcher Rechenregel (wenn ich sie
> übersehen habe) kommt man hier zum Ergebnis?

Da der Grad des Zählerpolynoms grösser ist als derjenige des Nennerpolynoms, spaltest Du erst einmal mittels Polynomdivision den ganzrationalen Teil ab:
[mm]\int \frac{4x-x^3}{x^2+2}\,dx = \int\big(-x+\frac{6x}{x^2+2}\big)\, dx = -\int x\, dx+3\cdot\int \big(\ln(x^2+2)\big)'\, dx = -\frac{1}{2}x^2+3\cdot \ln(x^2+2)+C[/mm]

Siehe auch: []http://integrals.wolfram.com/index.jsp

> Habe schon ausprobiert:
>  partielle integration. integration durch substitution.
> partialbruchzerlegung. polynomdivision. aber ich komme
> nicht weiter oder ich habe mich bisher immer verrechnet

Ja, irgend etwas muss schief gelaufen sein: denn in der obigen Berechnung habe ich nur Polynomdivision und Substitution verwendet.


Bezug
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