Integration einer Wurzelfkt. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Mi 18.01.2006 | | Autor: | xquadrat |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{} [/mm] { [mm] \wurzel{x^2+a} [/mm] dx} , x [mm] \in \IR [/mm] |
Bitte löse man diese Aufgabe... Vermutlich habe ich noch nicht die richtige Substitution gefunden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Janyary |
an sich musst du hier ueberhaupt nix substituieren.
denn es gilt die regel: integration der klammer und multiplikation mit der ableitung der inneren funktion.
[mm] f(x)=(x^{2}-a)^{0.5}
[/mm]
ableitung deiner inneren funktion ist 2x
wenn du also deine klammer integrierst, bekommst du
[mm] \bruch{2}{3}*(...)^{1.5}
[/mm]
das multipliziert mit dem reziproken deiner inneren ableitung ergibt das Integral:
[mm] F(x)=\bruch{2}{3}*(x^{2}-a)^{1.5}*\bruch{1}{2x}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3x}*(x^{2}-a)^{1.5}
[/mm]
Du kannst das ganze aber natuerlich auch durch Substitution loesen.
[mm] f(x)=(x^{2}-a)^{0.5} [/mm] sei [mm] u=x^{2}-a, [/mm] dann ist u'=2x
also dx= [mm] \bruch{du}{2x}
[/mm]
demzufolge:
[mm] \integral_{}^{}{(x^{2}-a)^{0.5} dx}= \integral_{}^{} {u^{0.5}*\bruch{1}{2x} du}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{3}*u^{1.5}*\bruch{1}{2x}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{3x}*u^{1.5}
[/mm]
zurueckersetzen
= [mm] \bruch{1}{3x}*(x^{2}-a)^{1.5}
[/mm]
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