Integration einer Grenzerlösfunktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Fr 03.09.2004 | | Autor: | Alice |
Hallo liebe Matheräumler,
gegeben ist der Grenzerlös mit [mm] E'(x)=(2-x)e^{-x}
[/mm]
Ich möchte jetzt die Erlösfunktion E(x) bilden.
Soo, [mm] E(x)=\integral_{0}^{x}E'(x)
[/mm]
nun dachte ich mir, ich mache partielle Integration, da ich ja die Stammfunktion von (2-x) einfach bestimmen kann [mm] (2x-0,5x^2), [/mm] aber nicht die, von [mm] e^{-x}
[/mm]
Formel für die partielle Integration ist ja:
[mm] \integral{f(x)*g'(x) dx}=f(x)*g(x)- \integral{f'(x)*g(x) dx}
[/mm]
daraus folgt für mich:
[mm] f(x)=e^{-x}
[/mm]
g'(x)=(2-x)
[mm] e^{-x}*(2x- \bruch{x^2}{2})- \integral_{0}^{x}e^{-x}*(2-x)
[/mm]
[mm] =e^{-x}*(2x- \bruch{x^2}{2})+e^{-x}*(2-x)
[/mm]
[mm] =e^{-x}(x-\bruch{x^2}{2}+2)
[/mm]
leider habe ich keine Musterlösung oder sowas, ich bin mir aber sehr unsicher, ob das richtig ist, vielleicht kann sich das ja mal jemand angucken, der sich mit der integralrechnung auskennt 
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Fr 03.09.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Alice!
> gegeben ist der Grenzerlös mit [mm]E'(x)=(2-x)e^{-x}
[/mm]
> Ich möchte jetzt die Erlösfunktion E(x) bilden.
>
> Soo, [mm]E(x)=\integral_{0}^{x}E'(x)
[/mm]
>
> nun dachte ich mir, ich mache partielle Integration, da ich
> ja die Stammfunktion von (2-x) einfach bestimmen kann
> [mm](2x-0,5x^2),[/mm] aber nicht die, von [mm]e^{-x}
[/mm]
Doch, die Stammfunktion von [mm] $f(x)=e^{-x}$ [/mm] kann man sehr gut bilden:
$F(x) = - [mm] e^{-x}$
[/mm]
(ist so eine Art umgekehrte Anwendung der Kettenregel).
> Formel für die partielle Integration ist ja:
>
> [mm]\integral{f(x)*g'(x) dx}=f(x)*g(x)- \integral{f'(x)*g(x) dx}
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> daraus folgt für mich:
>
> [mm]f(x)=e^{-x}
[/mm]
> g'(x)=(2-x)
Der Ansatz so führt nicht zum Ziel, da du den Grad des Polynoms $g(x)=2-x$ ja erniedrigen willst und nicht erhöhen. Deine Rechnung danach ist übrigens sowieso falsch (da du am Schluss einfach die Integralzeichen weglässt und nicht die Stammfunktion bildest).
Du solltest so ansetzen:
$f(x)=2-x [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] f'(x) = -1$
$g'(x) [mm] =e^{-x} \quad \Rightarrow \quad g(x)=-e^{-x}$.
[/mm]
Dann erhältst du:
[mm] $\int (2-x)e^{-x}\, [/mm] dx = [mm] (2-x)\cdot (-e^{-x}) [/mm] - [mm] \int (-1)\cdot (-e^{-x})\, [/mm] dx = [mm] (x-2)e^{-x} [/mm] - [mm] \int e^{-x} [/mm] dx$.
Das letzte Integral kannst du nun auch "ausrechnen", da du ja die Stammfunktion von [mm] $-e^{-x}$ [/mm] kennst (siehe oben).
Wie lautet also das Ergebnis? Teile es uns zur Kontrolle bitte mit.
Und dann musst du ja noch die Grenzen einsetzen (bisher hast du ja nur die obere eingesetzt; falls die untere Grenze $0$ hier wichtig ist, solltest du die ebenfalls einsetzen; beachte bitte, dass dort nicht $0$ rauskommt und man die daher nicht einfach wegfallen lassen darf)
Liebe Grüße
Julius
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Hallo Alice!
> [mm]\integral{f(x)*g'(x) dx}=f(x)*g(x)- \integral{f'(x)*g(x) dx}
[/mm]
>
>
>
> [mm]f(x)=2-x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = -1[/mm]
> [mm]g'(x) =e^{-x} \quad \Rightarrow \quad g(x)=-e^{-x}[/mm].
>
>
> [mm]\int (2-x)e^{-x}\, dx = (2-x)\cdot (-e^{-x}) - \int (-1)\cdot (-e^{-x})\, dx = (x-2)e^{-x} - \int e^{-x} dx[/mm]
>
>
> Die Stammfunktion von [mm]e^{-x}=- \bruch{1}{x}e^{-x}
[/mm]
Nein. Oben steht doch schon, wie man von $g'(x)$ nach $g(x)$ kommt. Du musst doch nur durch den Vorfaktor teilen (also -1), nicht durch $-x$.
Bitte versuche es nochmal.
Liebe Grüße
Brigitte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:49 Sa 04.09.2004 | | Autor: | Alice |
Hallo Brigitte,
danke für deine Antwort.
Ja stimmt, die Stammfunktion von [mm] e^{-x} [/mm] war ja schon angegeben, als [mm] -e^{-x}
[/mm]
Somit ergibt sich, wenn ich die obere und untere Grenze einsetze:
[mm] (x-2)e^{-x}+ e^{-x}+1
[/mm]
Ich hoffe, das ist jetz korrekt so!?
Danke nochmals!
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Hallo Alice!
Auch auf die Gefahr hin, dass ich mir jetzt zu viel Arbeit mache, schreibe ich noch mal den ganzen Lösungsweg auf, weil ich nicht sicher bin, ob Dein Ergebnis, das absolut richtig ist, auch auf dem richtigen Weg zustandegkommen ist. (Mir fehlen die Zwischenschritte  )
[mm] \int_0^x (2-y)e^{-y}\,dy = \Big[-(2-y)e^{-y}\Big]_0^x - \int_0^x e^{-y}\,dy
=-(2-x)e^{-x} + 2 + \Big[e^{-y}\Big]_0^x = 2-(2-x)e^{-x} +e^{-x}-1=1-(1-x)e^{-x}[/mm]
Ich hoffe, ich habe jetzt keinen Vorzeichenfehler reingebaut und Dein Rechenweg stimmt damit überein.
Viele Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 So 05.09.2004 | | Autor: | Alice |
Hallo Brigitte,
danke, dass du alles nochmal ausführlich aufgeschrieben hast! Ich glaube, ich hatte das ganze System noch nicht verstanden. Ich wusste nicht, dass ich auch die Grenzen des Teiles vor dem Integral berechnen muss.
Bei allen Funktionen, die ich bis jetzt integrieren wollte, hatte ich das Problem, dass das eben nicht geklappt hat, weil ich die Grenzen des vorderen Teils nie berechnet habe, sondern nur die von dem Teil im Integral.
Du warst mir eine große Hilfe, vielen Dank!!!
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