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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 So 24.08.2008 | | Autor: | nenena |
| Aufgabe | [mm] \integral_{0}^{\infty} \bruch{x}{\wurzel{ax+b}} [/mm] dx
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Ich habe in einer Formelsammlung nachgeschaut und kenne die Lösung aber ich möchte wissen wie man von alleine draufkommt ? Ich habe sowohl probiert es zu substituieren als auch mit partieller Integration zu lösen aber ich komme dabei nicht auf das Ergebnis ( [mm] \bruch{2* \cdot \* (ax - 2b)}{3a^2} [/mm] * [mm] \cdot \* \wurzel{ax + b} [/mm] ). Kann mir jemand helfen ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo nenena,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\integral_{0}^{\infty} \bruch{x}{\wurzel{ax+b}}[/mm] dx
>
Das ist ein bestimmtes Integral, d.h. es hat hier die Grenzen 0 und [mm]\infty[/mm].
Sicher hast Du hier dieses Integral gemeint:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{\wurzel{ax+b}} \ dx}[/mm]
>
> Ich habe in einer Formelsammlung nachgeschaut und kenne die
> Lösung aber ich möchte wissen wie man von alleine
> draufkommt ? Ich habe sowohl probiert es zu substituieren
> als auch mit partieller Integration zu lösen aber ich komme
> dabei nicht auf das Ergebnis ( [mm]\bruch{2* \cdot \* (ax - 2b)}{3a^2}[/mm]
> * [mm]\cdot \* \wurzel{ax + b}[/mm] ). Kann mir jemand helfen ?
Substituieren wir hier [mm]z^{2}=ax+b[/mm]
Dann ist
[mm]x = \bruch{1}{a}*\left(z^{2}-b\right) \Rightarrow dx = \bruch{1}{a} 2z \ dz[/mm]
Daher schreibt sich das Integral dann so:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{\wurzel{ax+b}} \ dx}=\integral_{}^{}{\bruch{z^{2}-b}{a z} \ \bruch{2z}{a} \ dz}=\bruch{2}{a^{2}}\integral_{}^{}{\left(z^{2}-b\right)} \ dz}=\bruch{2}{a^{2}}\left(\bruch{z^{3}}{3}-bz\right)[/mm]
[mm]=\bruch{2}{a^{2}}z\left(\bruch{z^{2}}{3}-b\right)=\bruch{2}{3a^{2}}z\left(z^{2}-3b\right)[/mm]
[mm]=\bruch{2}{3a^{2}}\wurzel{ax+b}\left(ax+b-3b\right)=\bruch{2}{3a^{2}}\wurzel{ax+b}\left(ax-2b\right)[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Gruß
MathePower
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