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| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{exp(4x)}{exp(2x)+3} dx} [/mm] |
Hallo,
ich habe schon lange über dem Integral [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{exp(4x)}{exp(2x)+3} dx} [/mm] gesessen, aber bei mir kommt nie etwas gescheites raus. Wenn ich mit partieller Integration rangehe, erhalte ich schnell wieder das "Ausgangsintegral" :
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{exp(4x)}{exp(2x)+3} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{exp(4x)*\bruch{1}{exp(2x)+3} dx}=
[/mm]
[exp(4x)*ln(exp(2x)+3)]- [mm] \integral_{0}^{1}{4exp(4x) * ln(exp(2x)+3) dx}=
[/mm]
[exp(4x)*ln(exp(2x)+3)] - ([4exp(4x)*ln(exp(2x)+3)]- [mm] \integral_{0}^{1}{exp(4x)*\bruch{1}{exp(2x)+3} dx})
[/mm]
Mit Substitution bin ich leider auch nicht weit gekommen.
Hat jemand einen Tipp für mich, welchen "Trick" ich anwenden könnte? ;)
Liebe Grüße
sommersonne
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:17 So 31.08.2008 | | Autor: | weduwe |
substituiere
[mm]e^{2x}=u[/mm] und anschließend [mm]u+3=v[/mm]
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Hallo,
danke für deine Antwort!
Das sieht ja wirklich kompliziert aus:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{exp(4x)}{exp(2x)+3} dx} [/mm] = [mit (g(x)=t=exp(2x) und t'=2exp(2x) sowie dt=2exp(2x)dx <=> dt=2t dx <=> (dt/2t) = dx]
[mm] \integral_{g(0)}^{g(1)}{\bruch{t^2}{t+3} (dt/2t)} [/mm] =
[mm] \integral_{g(0)}^{g(1)}{\bruch{t^2}{(t+3)*2t} (dt)} [/mm] =
[mm] \integral_{g(0)}^{g(1)}{\bruch{t}{(t+3)*2} (dt)} [/mm] =
[mm] (1/2)*\integral_{g(0)}^{g(1)}{\bruch{t}{(t+3)} (dt)} [/mm] = [mit h(x)=u=t+3 und u'=1 sowie du=1dx]
[mm] (1/2)*\integral_{h(g(0))}^{h(g(1))}{\bruch{u-3}{(u)} (du)}=
[/mm]
[mm] (1/2)*\integral_{h(g(0))}^{h(g(1))}{\bruch{u}{(u)} (du)}- (1/2)*\integral_{h(g(0))}^{h(g(1))}{\bruch{3}{(u)} (du)}=
[/mm]
[mm] (1/2)*\integral_{h(g(0))}^{h(g(1))}{1du}- (3/2)*\integral_{h(g(0))}^{h(g(1))}{\bruch{1}{(u)} (du)}=
[/mm]
(1/2)*[u]- (3/2)[ln(u)]
Hmm, geht das nicht irgendwie kürzer?
Liebe Grüße
sommersonne
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 So 31.08.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo sommersonne,
ich habe Deine Rechnung nicht im Detail überprüft, aber wenn Du beim Ausrechnen das Integral wieder auf der rechten Seite bekommst, in diesem Falle mit einem Minuszeichen versehen, dann ist die Aufgabe doch gelöst.
Bringe dieses Integral auf die linke Seite der Gleichung und Du hast etwas dastehen, wie
2 * Integral = restliche Summanden der rechten Seite.
Du brauchst also nur noch die rechte Seite durch 2 zu dividieren und das Ergebnis steht da.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo,
vielen Dank für deine Antwort!
Ja auf genau sowas habe ich auch gehofft, nur leider steht bei mir ein +:
[mm] \integral_{0}^{1}{exp(4x)\cdot{}\bruch{1}{exp(2x)+3} dx} [/mm] =
[exp(4x)*ln(exp(2x)+3)] - ([4exp(4x)*ln(exp(2x)+3)]- $ [mm] \integral_{0}^{1}{exp(4x)\cdot{}\bruch{1}{exp(2x)+3} dx}) [/mm] $=
[exp(4x)*ln(exp(2x)+3)] - [4exp(4x)*ln(exp(2x)+3)] + $ [mm] \integral_{0}^{1}{exp(4x)\cdot{}\bruch{1}{exp(2x)+3} dx} [/mm] $
Damit würde das Integral ja wegfallen :(
Liebe Grüße
sommersonne
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:54 So 31.08.2008 | | Autor: | Infinit |
Sorry, sommersonne,
ich hatte das Minuszeichen vor der ersten runden Klammer übersehen. Dann muss ich mir das Ganze doch noch mal genauer angucken.
VG,
Infinit
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 So 31.08.2008 | | Autor: | Infinit |
In diesem fall ist der Tipp von weduwe sicher besser. Man muss zwar zweimal substituieren, aber das Ganze ist noch recht gut handhabbar. Deine Rechnung ist soweit okay für die unbestimmten Integrale, vergesse nicht die Grenzen auch zu substituieren.
VG,
Infinit
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> Hmm, geht das nicht irgendwie kürzer?
Doch, das geht kürzer. Vor allem genügt eine einzige Substitution $u:= [mm] e^{2x}+3$. [/mm] Dann ist [mm] $du=2e^{2x}\,dx$, [/mm] also [mm] $dx=du/(2e^{2x})$. [/mm] Zusammen mit [mm] $e^{2x}=u-3$ [/mm] erhält man:
[mm]\integral_0^1 \frac{e^{4x}}{e^{2x}+3}\,dx=\integral_4^{e^2+3}\frac{e^{2x}\cdot e^{2x}}{e^{2x}+3}\,\frac{du}{2e^{2x}}=\tfrac{1}{2}\cdot \integral_4^{e^2+3}\frac{u-3}{u}\, du=\tfrac{1}{2}\cdot\Big[u-3\ln(u)\Big]_{u=4}^{e^2+3}=\ldots[/mm]
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Hallo,
vielen Dank für deine Antwort!
Liebe Grüße
sommersonne
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