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| Aufgabe | | [mm] \integral_{-1}^{1}\integral_{-\wurzel{1-x^{2}}}^{\wurzel{1-x^{2}}}{x-y dx} [/mm] |
Ich hab die Aufgabe soweit durchgerechnet komme nur leider an einer Stelle nicht auf das Ergebnis wie die Musterlösung und bin nun etwas verwirrt.
[mm] \integral_{-1}^{1}\integral_{-\wurzel{1-x^{2}}}^{\wurzel{1-x^{2}}}{x-y dx}
[/mm]
=
[mm] \integral_{-1}^{1}[xy-\bruch{1}{2} *y^{2}] [/mm] in den Grenzen von [mm] -\wurzel{1-x^{2}} [/mm] bis [mm] \wurzel{1-x^{2}}
[/mm]
=
[mm] \integral_{-1}^{1}2x\wurzel{1-x^{2}} [/mm] dx
An dieser Stelle wende ich dann die Substitution mit z= [mm] 1-x^{2} [/mm] und [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = -2x an, wie auch in der Musterlösung.
Dies ergibt dann
[mm] \integral_{-1}^{1} -\wurzel{z} [/mm] dz
die Musterlösung sieht an dieser Stelle jedoch kein Minus vor [mm] \wurzel{z} [/mm] vor. Nun meine Frage, was hab ich falsch gemacht?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 Di 27.10.2009 | | Autor: | micbes786 |
Ich habe in der Aufgabenstellung das dy vergessen
[mm] \integral_{-1}^{1}\integral_{-\wurzel{1-x^{2}}}^{\wurzel{1-x^{2}}}{x-y dydx}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Di 27.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]\integral_{-1}^{1}\integral_{-\wurzel{1-x^{2}}}^{\wurzel{1-x^{2}}}{x-y \; dy \; dx}[/mm]
>
> Ich hab die Aufgabe soweit durchgerechnet komme nur leider
> an einer Stelle nicht auf das Ergebnis wie die
> Musterlösung und bin nun etwas verwirrt.
>
> [mm]\integral_{-1}^{1}\integral_{-\wurzel{1-x^{2}}}^{\wurzel{1-x^{2}}}{x-y \; dy \; dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{-1}^{1}[xy-\bruch{1}{2} *y^{2}]_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} dx[/mm]
> = [mm]\integral_{-1}^{1}2x\wurzel{1-x^{2}}[/mm] dx
>
> An dieser Stelle wende ich dann die Substitution mit z=
> [mm]1-x^{2}[/mm] und [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = -2x an, wie auch in der
> Musterlösung.
> Dies ergibt dann [mm]\integral_{-1}^{1} -\wurzel{z}[/mm] dz
Vorsicht: einmal hast du die Integralgrenzen nicht angepasst -- aus $x = -1$ und $x = 1$ wird jeweils $z = 0$. So direkt kannst du die Substitutionsregel also gar nicht anwenden (die Funktion $x [mm] \mapsto [/mm] 1 - [mm] x^2$ [/mm] ist nicht auf $[-1, 1]$ injektiv, sondern nur auf $[0, 1]$ bzw. $[-1, 0]$).
Beachte erstmal, dass [mm] $\int_{-1}^1 [/mm] 2 x [mm] \sqrt{1 - x^2} [/mm] dx = 2 [mm] \int_0^1 [/mm] 2 x [mm] \sqrt{1 - x^2} [/mm] dx$ ist, und dann fuehre die Substitution durch.
Du wirst merken, dass die Grenzen $x = 0$ und $x = 1$ jetzt zu $z = 1$ und $z = 0$ werden -- die obere Grenze also kleiner ist als die untere. Wenn du die wieder vertauscht, bekommst du einen weiteren Vorfaktor von $-1$ -- womit das ganze dann wieder positiv wird.
Nochmal langsam: aus [mm] $\int_0^1 [/mm] 2 x [mm] \sqrt{1 - x^2} [/mm] dx$ wird [mm] $\int_1^0 -\sqrt{z} [/mm] dz$ und daraus [mm] $\int_0^1 \sqrt{z} [/mm] dz$.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Di 27.10.2009 | | Autor: | micbes786 |
Danke für die schnelle Hilfe!
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