Integration durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Fr 25.02.2005 | | Autor: | Stefan04 |
Hallo,
folgendes Integrad:
$ [mm] \integral_{ \bruch{\pi}{2}}^{2\pi} [/mm] {sinx * cosx dx} $
habe es nun durch Substitution gelöst :
Sinx = f(g(x)) ; cosx = g'(x) soweit ist ja alles klar.
dann habe ich um die Stammfunktion zu SInusx zu finden, einmal aufgeleitet :
$ [mm] (sinx)^1 [/mm] = [mm] \bruch{(sinx)^{1+1}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (sinx) ² $
$ also : [ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (sinx) ² ] $
DA ich aber auch weiß, dass die Stammfunktion zu SInx= -cosx ist,
habe ich eine andere Stammfunktion also [-cosx]
die erste Aufgabe haben wir so im Unterricht berrechnet und als Ergebnis $ [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] $
bei der STammfunktuon mit -cosx = -1
heraus.
für mich klingt beides logisch und sehr plausibel.
WO ist aber jetzt der Fehler???
Danke und Gruß Stefan
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Fr 25.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Stefan!
Nun ja:
Die Funktion
$F(x) = [mm] \frac{1}{2} \sin^2(x)$
[/mm]
ist eine Stammfunktion von
$f(x) = [mm] \sin(x) \cdot \cos(x)$,
[/mm]
so dass wir erhalten:
[mm] $\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{2\pi} \sin(x) \cdot \cos(x)\, [/mm] dx = [mm] \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{2\pi} f(x)\, [/mm] dx = [mm] F(2\pi) [/mm] - F( [mm] \frac{\pi}{2}) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\sin^2(2\pi) [/mm] - [mm] \frac{1}{2} \sin^2(\frac{\pi}{2}) [/mm] = 0 - [mm] \frac{1}{2} \cdot [/mm] 1 = [mm] -\frac{1}{2}$.
[/mm]
Dagegen ist
$G(x) = [mm] -\cos(x)$
[/mm]
nur eine Stammfunktion von
$g(x) = [mm] \sin(x)$ [/mm]
(und nicht etwa wie oben von [mm] $f(x)=\sin(x) \cdot \cos(x)$).
[/mm]
Insofern ist die Frage, was du hier genau vorhattest und wie du weitergerechnet hast.
Könntest du uns das bitte mal vorführen? Oder hat sich deine Frage jetzt schon erledigt? 
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Fr 25.02.2005 | | Autor: | Stefan04 |
Ich wollte hier nur die Aufgabe nochmal rechnen und dabei hatte ich halt den anderen Lösungweg eingeschlagen.
Wenn ich mir jetzt die Stammfunktion (-cosx) anschaue, wird mir natürlich klar, $dass davon die ABleitung nicht [mm] \not= [/mm] sinx*cosx ist. Aber trotzdem stellt $
sich mir die Frage warum ich das hier nicht anwenden konnte, da ich doch nur die Stammgfuntkion zu f(g(x)) suchen musste, was in dem Fall [-cosx] war...
f(g(x)) = sinx
g'(x) = cosx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Fr 25.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan04!
> Ich wollte hier nur die Aufgabe nochmal rechnen und dabei
> hatte ich halt den anderen Lösungweg eingeschlagen.
>
>
> Wenn ich mir jetzt die Stammfunktion (-cosx) anschaue, wird
> mir natürlich klar, [mm]dass davon die ABleitung nicht \not= sinx*cosx ist. Aber trotzdem stellt[/mm]
>
> sich mir die Frage warum ich das hier nicht anwenden
> konnte, da ich doch nur die Stammgfuntkion zu f(g(x))
> suchen musste, was in dem Fall [-cosx] war...
>
> f(g(x)) = sinx
> g'(x) = cosx
Na, wenn [mm] $g'(x)=\cos(x)$ [/mm] ist, dann ist [mm] $g(x)=\sin(x)$ [/mm] eine Stammfunktion zu $g'(x)$.
Aber was soll denn bei dir überhaupt $f(x)$ sein? Ich meine, damit du substituieren kannst, brauchst du eine äußere Funktion. Du müßtest also [m]f(x)[/m] erst mal so finden, dass [m]f'(g(x))=\sin(x)[/m] ist.
(Beachte auch, dass [m]f\red{'}(g(x))=\sin(x)[/m] gelten muß und nicht: [mm] $f(g(x))=\sin(x)$!
[/mm]
PS: In der Mathebank stand an dieser Stelle was Falsches, was ich jetzt korrigiert habe. Vermutlich auch daher dein Fehler... )
Wenn du substituieren willst, dann mußt du z.B. festlegen:
[m]f(x):=\frac{1}{2}*x^2[/m] und wir suchen $g(x)$ mit [m]g'(x)=\cos(x)[/m]. Definierst du nun [m]g(x):=\sin(x)[/m], so ist $g$ eine Stammfunktion zu $g'$ und es gilt dann in der Tat:
[m]f\red{'}(g(x))*g'(x)=\sin(x)*\cos(x)[/m].
Denn: Mit [mm] $f(x)=\frac{1}{2}x^2$ [/mm] folgt: $f'(x)=x$, also:
[mm] $f'(g(x))=g(x)=\sin(x)$.
[/mm]
Aber ich gebe dir mal einen Tipp, wie man auf anderem Wege eine Stammfunktion zu [mm] $\sin(x)*\cos(x)$ [/mm] finden kann:
Benutze die partielle  Integration, um
[m]\int{\underbrace{\sin(x)}_{=u(x)}*\underbrace{\cos(x)}_{=v'(x)}\,dx}[/m] auszurechnen.
Jedenfalls wäre mir das eher in den Sinn gekommen, als die Substitution...
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Fr 25.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Achja, wenn du das ganze mal mit Substituion einigermaßen ordentlich aufgeschrieben haben willst:
Sei [mm] $g(x):=\sin(x)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $dg=\cos(x)\, [/mm] dx$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[m]\int{\underbrace{\sin(x)}_{=g}*\underbrace{\cos(x)\,dx}_{=dg}}=\int{g\,dg}=\frac{1}{2}g^2+c=\frac{1}{2}\sin^2(x)\;+c[/m]
mit einer konstanten Zahl $c$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Sa 26.02.2005 | | Autor: | Stefan04 |
So...
habe das jetzt mit der partiellen INtegration mal versucht:
Es gilt:
$ [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {sinx * cosx dx} $
v'(x) = sinx
u(x) = cosx :
---------------------------
-->v(X) = - cosx
--->u'(X) = -sinx :
$ [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {sinx * cosx dx}
$ = [ cosx * -cosx] - [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {-sinx * -cosx dx}$
da sinx * cosx = [mm] \bruch{sinx}{cosx} [/mm] = tanx ist --->
= [ cosx * -cosx] - [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {tanx dx}$
= [ cosx * -cosx] - [ ln |cos|]
= [ -1 - ln|cosx|]
das ist aber doch eine andere Stammfunktion als [ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sinx²]
WO liegt der fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Sa 26.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Dein Fehler liegt genau hier:
[mm] $\sin(x) [/mm] * [mm] \cos(x) [/mm] \ \ [mm] \overbrace{\not=}^{\red{!!!}} [/mm] \ \ [mm] \bruch{\sin(x)}{\cos(x)}$
[/mm]
> [mm]\integral_{a}^{b} {sinx * cosx dx}[/mm]
> v'(x) = sinx
> u(x) = cosx :
> ---------------------------
> -->v(x) = - cosx
>
> --->u'(x) = -sinx :
>
> [mm]\integral_{a}^{b}[/mm] {sinx * cosx dx}
> [mm]= [ cosx * -cosx] - \integral_{a}^{b} {-sinx * -cosx dx}[/mm]
Hier kannst Du nun etwas zusammenfassen:
[mm] $\integral_{a}^{b} {\sin(x) * \cos(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \left[ - \cos^2(x)\right]_a^b [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b} {\sin(x) * \cos(x) \ dx}$
[/mm]
Wenn Du nun den Ausdruck [mm] $\integral_{a}^{b} {\sin(x) * \cos(x) \ dx}$ [/mm] auf die linke Seite bringst und anschließend durch 2 teilst, hast Du Deine gewünschte Stammfunktion.
Um auch auf Deine oben genanntes Ergebnis von [mm] $\bruch{1}{2} \sin^2(x)$ [/mm] zu kommen, mußt Du auch noch den trigonometrischen Pythagoras [mm] $\sin^2(x) [/mm] + [mm] \cos^2(x) [/mm] = 1$ anwenden.
Nun alles klar?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Sa 26.02.2005 | | Autor: | Stefan04 |
sry, war mit dem schreiben etwas zu langsam...
ja, mir ist das jetzt ein wenig klar, werde mal drüber schlafen und das dann morgen nochmal durchgehen ;)
Danke für die Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Sa 26.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan!
So nebenbei: Hier hatte ich dir folgendes vorgeschlagen:
[m]\int{\underbrace{\sin(x)}_{=u(x)}\cdot{}\underbrace{\cos(x)}_{=v'(x)}\,dx}[/m]
Also: Mit [mm] $u(x)=\sin(x)$ [/mm] und [mm] $v'(x)=\cos(x)$ [/mm] (wir wählen [mm] $v(x):=\sin(x)$, [/mm] damit haben wir dann eine Stammfunktion zu $v'$ gefunden) folgt mit der partiellen Integration:
[m]\int{\underbrace{\sin(x)}_{=u(x)}\cdot{}\underbrace{\cos(x)}_{=v'(x)}\,dx}=\underbrace{\sin(x)}_{=u(x)}*\underbrace{\sin(x)}_{=v(x)}-\int{\underbrace{\cos(x)}_{=u'(x)}*\underbrace{\sin(x)}_{=v(x)}\,dx}[/m]
und daraus wieder unmittelbar:
[m]\int{\sin(x)*\cos(x)\,dx}=\frac{1}{2}\sin^2(x)[/m]
Ich hatte dir $u$ und $v'$ deswegen so vorgeschlagen, weil man sich damit den Umweg über den trigonometrischen Pythagoras spart. Na gut, viel spart man sich hier nicht (einen Schritt  ), aber wenigstens spart man sich doch etwas ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") .
Nichtsdestotrotz solltest du nun über deinen eigenen Weg mit Loddar's Hilfe zum Ziel gelangen, andernfalls frage halt bitte weiter nach .
PS: Lass dich nicht von der Zahl [mm] $-\frac{1}{2}$ [/mm] verwirren, die auftaucht, wenn du das Integral auf deinem Weg ausechnest. Konstanten fallen ja bei der Ableitung weg. Also:
Wenn mit [m]F_1(x)=\frac{1}{2}\sin^2(x)[/m] eine Stammfunktion von [mm] $f(x)=\sin(x)*\cos(x)$ [/mm] gegeben ist, dann ist auch mit [m]F_2(x)=\frac{1}{2}\sin^2(x)-\frac{1}{2}[/m] eine Stammfunktion von $f$ gegeben etc..
Viele Grüße,
Marcel
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