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Hi. ich habe hier nochmal eine Aufgabe, die ich wieder mal nicht so verstehe, will dafür aber nicht noch extra einen thread eröffnen.
Aufgabe:
Sei f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] eine monotone Funktion. Zeigen Sie, dass es einen Punkt c [mm] \in [/mm] (a,b) gitb, so dass [mm] \integral_{a}^{b}{f(t) dt} [/mm] = f(a)(c-a) + f(b)(b-c)
Lösung:
O.B.d.A sei f monton wachsend. Dann gilt:
f(a) [mm] \le [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] f(b) für alle x [mm] \in [/mm] [a,b]. Durch integrieren der Ungleichung ergibt sich:
f(a)(b-a) [mm] \le \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \le [/mm] f(b)(b-a), also ist [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \in [/mm] [f(a)(b-a), f(b)(b-a)]. Daraus folgt, dass ein [mm] \lambda \in [/mm] (0,1) existiert, so dass [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [mm] (1-\lambda)f(a)(b-a) [/mm] + [mm] \lambda [/mm] f(b)(b-a).
Gesucht ist ein c [mm] \in [/mm] (a,b) mit [mm] \integral_{a}^{b}{f(t) dt} [/mm] = f(a)(c-a) + f(b)(b-a).
c = [mm] \lambda*a [/mm] + (1 - [mm] \lambda)b [/mm] leistet das Verlangte. c [mm] \in [/mm] (a,b) ergibt sich aus [mm] \lambda \in [/mm] (0,1) .
so jetzt kommen meine fragen:
1. Warum ergibt integrieren das hier: f(a)(b-a) . Integrieren ist ja obere Grenze minus untere Grenze, aber hier führen in der Mitte ein Integralzeichen ein und links und rechts nicht, das ist bisschen komisch.
2. es folgen ja eigentlich nur noch zwei schritt, aber die versteh ich auch nicht so. wie entsteht z.B. das hier: [mm] (1-\lambda)f(a)(b-a) [/mm] + [mm] \lambda [/mm] f(b)(b-a). soll das heißen, dass die zahlen im intervall von (0,1) da nichts am wert ändern?
und dann noch das hier: c = [mm] \lambda*a [/mm] + (1 - [mm] \lambda)b
[/mm]
danke für eure hilfe im voraus.
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:31 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
> so jetzt kommen meine fragen:
Gut, ich bin bereit.
> Warum ergibt integrieren das hier: f(a)(b-a) ?
Macht es ja gar nicht.
Dort steht, dass f(x) wegen der Monotonie zwischen f(a) und f(b) liegt.
D.h. das Integral von f (also die Fläche unter Fkt.) ist größer als das Rechteck Höhe*Breite= f(a)*(b-a) und kleiner als f(b)*(b-a)
Das Integral liegt somit im Interval [f(a)(b-a), f(b)(b-a)].
Das heißt man kann mit dem gewichteten Durchschnitt [mm] (1-\lambda)f(a)(b-a)+\lambda [/mm] f(b)(b-a) den Wert berechnen, wenn man [mm] \lambda [/mm] kennen würde.
> c = $ [mm] \lambda\cdot{}a [/mm] $ + (1 - $ [mm] \lambda)b [/mm] $
Setze das mal ein.
Es bedeutet, dass c zwischen a und b liegt.
Ciao.
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hi, aber die sache ist ja, wie kommt man auf $ [mm] (1-\lambda)f(a)(b-a)+\lambda [/mm] $ f(b)(b-a) und auf c = $ [mm] \lambda\cdot{}a [/mm] $ + (1 - $ [mm] \lambda)b [/mm] $ ???
und dann habe ich c = $ [mm] \lambda\cdot{}a [/mm] $ + (1 - $ [mm] \lambda)b [/mm] $ mal f(a)(c-a) + f(b)(b-c) eingesetzt, was soll da denn rauskommen?
also [mm] (1-\lambda)f(a)(b-a)+\lambda [/mm] $ f(b)(b-a) kam bei mir da nicht raus.
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Fr 21.03.2008 | | Autor: | abakus |
> hi, aber die sache ist ja, wie kommt man auf
> [mm](1-\lambda)f(a)(b-a)+\lambda[/mm] f(b)(b-a) und auf c =
> [mm]\lambda\cdot{}a[/mm] + (1 - [mm]\lambda)b[/mm] ???
>
> und dann habe ich c = [mm]\lambda\cdot{}a[/mm] + (1 - [mm]\lambda)b[/mm] mal
> f(a)(c-a) + f(b)(b-c) eingesetzt, was soll da denn
> rauskommen?
>
> also [mm](1-\lambda)f(a)(b-a)+\lambda[/mm] $ f(b)(b-a) kam bei mir
> da nicht raus.
>
> gruß
Hallo,
versuche dir das doch mal vorzustellen.Nehmen wir mal an, die Funktion ist monoton wachsend. Dann ist das Rechteck f(a)(b-a) kleiner als das Integral, und f(b)*(b-a) ist größer als das Integral.
Jetzt nehmen wir uns einen Zwischenpunkt c aus dem Intervall [a;b]. Dann ist c-a < b-a, das können wir ausdrücken durch [mm] c-a=\lambda*(b-a) [/mm] mit [mm] 0<\lambda [/mm] <1. Der zweite Teil des durch c unterteilten Intervalls ist dann [mm] b-c=(1-\lambda)*(b-a).
[/mm]
Jetzt bilden wir zwei Rechtecke.
1. Rechteck : Breite c-a, Höhe f(a)
2. Rechteck: Breite b-c, Höhe f(b)
An Stelle von c-a bzw. b-c schreiben wir jetzt [mm] \lambda*(b-a) [/mm] bzw. [mm] (1-\lambda)*(b-a).
[/mm]
Die Summe der beiden Rechtecke ist dann
[mm] A=\lambda*(b-a)*f(a) +(1-\lambda)*(b-a)*f(b). [/mm]
(Für [mm] \lambda=0 [/mm] entspricht das dem zu kleinen Inhalt f(a)(b-a), für [mm] \lambda=1 [/mm] dem zu großen Inhalt f(b)*(b-a)).
Die Formel multiplizieren wir mal aus und ordnen neu. Es entsteht eine lineare Fkt. (A in Abh. von [mm] \lambda):
[/mm]
[mm] A=(b-a)*(f(a)-f(b))*\lambda [/mm] +(b-a*f(b)
Dieser Inhalt ist mit [mm] \lambda [/mm] linear wachsend, für [mm] \lambda=0 [/mm] zu klein und für [mm] \lambda=1 [/mm] zu groß.
Also gibt es irgendein [mm] \lambda [/mm] zwischen 0 und 1 , für das die Inhaltssumme beider Rechtecke genau passt (und für dieses [mm] \lambda [/mm] gibt es das zugehörige c mit [mm] c=a+\lambda(b-a) [/mm] (wir hatten ja [mm] \lambda [/mm] so festgelegt, dass [mm] c-a=\lambda(b-a) [/mm] ist).
Für monoton fallende Funktionen ist die Betrachtung analog.
Viele Grüße
Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:45 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Zneques |
> wie kommt man auf ... ?
Wenn man weis, dass eine Zahl z zwischen zwei anderen liegt, kann man die Konstruktion [mm] z=\lambda*Zahl_1+(1-\lambda)*Zahl_2 [/mm] benutzen. [mm] \lambda\in[0,1]
[/mm]
> also [mm] (1-\lambda)f(a)(b-a)+\lambda [/mm] f(b)(b-a) kam bei mir da nicht raus.
Tja ... schlecht.
f(a)(c-a) + f(b)(b-a)
[mm] =f(a)(\lambda*a+(1-\lambda)b-a) [/mm] + f(b)(b-a)
[mm] =f(a)((1-\lambda)b+(-a)-\lambda*(-a))+f(b)(b-a)
[/mm]
[mm] =(1-\lambda)f(a)(b-a)+\lambda [/mm] f(b)(b-a)
Ciao.
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Hi danke erstmal.
ich hatte aber zu anfang einen kleinen fehler in meinem thread, es muss, so wie ich es jetzt auch korrigiert habe, $ [mm] \integral_{a}^{b}{f(t) dt} [/mm] $ = f(a)(c-a) + f(b)(b-c) heißen und nicht wie ich es zuerst fälschlich hatte f(a)(c-a) + f(b)(b-a)
ich habe dann nochmal eine frage, zu einer anderen aufgabe, wo ich bei dem integrieren nicht hinterher komme.
also wir sollten den grenzwert von [mm] \limes_{x\rightarrow 0}*x*\integral_{x}^{2x}{\bruch{sin(t)}{t^3} dt} [/mm] berechnen. Die machen das dann mittels der l´hospitalschen regel.
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\integral_{x}^{2x}{\bruch{sin(t)}{t^3}} dt}{\bruch{1}{x}}
[/mm]
Ich versteh aber nicht so, was die mit [mm] \integral_{x}^{2x}{\bruch{sin(t)}{t^3}} [/mm] machen. Die schreiben, da die Funkton auf [mm] (0,\infty) [/mm] stetig ist, existiert eine Stammfunktion F(t). Nach dem Hauptsatz der Diff. und Integralrechnung gilt:
[mm] \integral_{x}^{2x}{\bruch{sin(t)}{t^3}} [/mm] = F(2x) - F(x). Das ist noch klar, aber jetzt kommt:
[mm] (\integral_{x}^{2x}{\bruch{sin(t)}{t^3}})'=2F'(2x)-F'(x)=\bruch{sin(2x) - 4sin(x)}{4x^3}.
[/mm]
hier komme ich nicht mehr hinterher. vielleicht jemand paar tipps?
danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo jaruleking!
Bitte eröffne für neue Fragen auch jeweils einen neuen Thread ...
> [mm]\integral_{x}^{2x}{\bruch{sin(t)}{t^3}}[/mm] = F(2x) - F(x).
> Das ist noch klar, aber jetzt kommt:
>
> [mm](\integral_{x}^{2x}{\bruch{sin(t)}{t^3}})'=[/mm] 2 F'(2x) - F´(x) = [mm]\bruch{sin(2x) - 4sin(x)}{4x^3}.[/mm]
Hier wurde für $F(2x)_$ bzw. $F(x)_$ jeweils die Ableitung gebildet. Dabei muss man für $F(2x)_$ die  Kettenregel beachten.
Die Ableitung der (uns unbekannten) Stammfunktion $F(x)_$ ergibt wiederum unsere Ausgangsfunktion $F'(x) \ = \ f(x) \ = \ [mm] \bruch{\sin(x)}{x^3}$ [/mm] .
Setzen wir ein, erhalten wir:
$$2*F'(2x)-F(x) \ = \ 2*f(2x)-f(x) \ = \ [mm] 2*\bruch{\sin(2x)}{(2x)^3}-\bruch{\sin(x)}{x^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\sin(2x)}{4x^3}-\bruch{\sin(x)}{x^3} [/mm] \ = \ ...$$
Nun die beiden Brüche gleichnamig machen und zusammenfassen ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Fr 21.03.2008 | | Autor: | jaruleking |
ok besten dank. ich wollte keinen neuen thread eröffnen, weil es ja nur eine kleine frage war.
gruß
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