Integration durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Di 19.09.2006 | | Autor: | junimond |
| Aufgabe | Bestimmen sie eine Stammfunktion von f mit der angegebenen Substitution:
[mm] f(x)=1/\wurzel{1+x² } [/mm] ;x= ½ ( [mm] e^t [/mm] [mm] e^{-t} [/mm] )
|
x= ½ ( [mm] e^t [/mm] [mm] e^{-t} [/mm] ) ist ja sinh(t) ,dass muss ich dann irgendwie einsetzten.
also [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\integral_{a}^{b}{1/\wurzel{1+sinh(t)}}
[/mm]
nur weiß ich jetzt einfach nicht,wie ich auf die Stammfunktion kommen soll!
Über tipps und ideen würde ich mich freuen.
danke schonmal im vorraus
jenni
ich habe diese frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Di 19.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo junimond!
Aus der allgemeinen Beziehung [mm] $\cosh^2(t)-\sinh^2(t) [/mm] \ = \ 1$ folgt ja:
[mm] $1+\sinh^2(t) [/mm] \ = \ [mm] \cosh^2(t)$
[/mm]
> also [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\integral_{a}^{b}{1/\wurzel{1+sinh(t)}}[/mm]
... da hast Du das [mm] $(...)^2$ [/mm] vergessen!
Zudem musst Du das $dx_$ durch die neue Integrationsvariable $dt_$ ersetzen:
$x' \ = \ [mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \sinh(t) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \cosh(t)$ $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ [mm] \cosh(t)*dt$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\integral{\bruch{1}{\wurzel{1+\sinh^2(t)}} \ \blue{dx}} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{\cosh^2(t)}} \ \blue{\cosh(t)*dt}} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{1}{\cosh(t)} \ \blue{\cosh(t)*dt}} [/mm] \ = \ [mm] \integral{1 \ dt} [/mm] \ = \ ...$
Schaffst Du den Rest nun alleine?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Di 19.09.2006 | | Autor: | junimond |
erstmal danke Loddar!
war alles gut nachvollziehbar.
nächster schritt: [mm] \integral_{a}^{b}{1dt} [/mm] = êtê
und das müsste ich dann ja resubstituieren...
also x= sinh(t) ; t= arsinh(x) = ln [mm] (x+\wurzel{x²+1}) [/mm]
und letzteres ist dann die stammfunktion.
stimmt das so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:17 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen junimond!
Alles richtig gemacht ... ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") .
Nur falls es sich hierbei um ein unbestimmtes Integral handeln sollte, musst Du noch die Integrationskonstante $+ \ C$ ergänzen.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
