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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Do 02.02.2006 | | Autor: | Jette87 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie mit Hilfe der angegebenen Substitution das nachfolgende Integral: [mm] \integral_{}^{}{(e^{-x} ) / (1+e^{-x} )² dx} [/mm] (Substituieren Sie [mm] u=e^{-x} [/mm] ). |
Hi,
ich habe auch mal wieder eine Frage:
Ich mache die Substitution etwas anders, das heißt, ich nehme erstmal das unterm Bruchstrich nach oben mit ^-2 und dann würde ich [mm] 1+e^{-x} [/mm] durch u ersetzen, dessen ableitung ja -e^-x ist, die sich dann bei dx= du/e^-x mit dem vorderen e^-x wegkürzen lässt. damit ist dann die stammfunktion:
[mm] 1/(1+e^{-x})
[/mm]
ABER so soll ich das ja nicht machen, sondern mit [mm] u=e^{-x} [/mm] Das blick ich aber nicht, wie das gehen soll.
Danke für eure Hilfe!!!!!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Do 02.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Marietta,
der Lösungsweg, den du gehen möchtest, unterscheidet sich nicht sonderlich von dem, den du gehen sollst... 
Du sollst ja [mm] $u(x)=e^{-x}$ [/mm] setzen, d.h. [mm] $u'(x)=-e^{-x}$, [/mm] also [mm] $dx=-\bruch{1}{e^{-x}}du=-\bruch{1}{u}du$.
[/mm]
Damit wäre [mm] $\int {\bruch{e^{-x}}{(e^{-x}+1)^{2}}dx}=-\int {\bruch{1}{(u+1)^{2}}du}$.
[/mm]
Dieses Integral kann man aber eigentlich auch nur durch eine weitere Substitution bestimmen: $v(u)=u+1$, d.h. $dv=du$.
Deine Substitution [mm] $u(x)=e^{-x}+1$ [/mm] macht beide Schritte auf einmal und ist daher -wie ich finde- der bessere Weg!
Alles klar? Ansonsten bitte nochmal nachfragen!
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Do 02.02.2006 | | Autor: | Jette87 |
Nein, alles klar, das ist ja zu komplizierter als meins, klar, dass ich da nicht drauf komme, wenn schon meine Variante schneller geht.
Aber ne 2. Substitution brauch man nicht ;), denn du kannst ja dann einfach das unterm Bruchstrich nach oben ziehen mit ^-2 und dann kann man ja ne Stammfunktion bestimmen!
Aber was komisch ist, dass die irgendwie nicht ganz stimmt, ich habe es mit meinem graphikfähigen taschenrechner überprüft, dass bei der ableitung der stammfunktion nicht exakt die Originalfunktion rauskommt... Kann das sein oder hab ich mich vielleicht vertippt? (Hab alles noch mal nachgeprüft... hummmm....)
Danke schon mal!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Do 02.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Marietta,
> Aber ne 2. Substitution brauch man nicht ;), denn du kannst
> ja dann einfach das unterm Bruchstrich nach oben ziehen mit
> ^-2 und dann kann man ja ne Stammfunktion bestimmen!
Ich meinte, mit der Substitution $u(x)=e^{-x}$ kommst du ja auf $\int {\bruch{e^{-x}}{(e^{-x}+1)^{2}}dx}=-\int {\bruch{1}{(u+1)^{2}}du}$ wie oben gesehen. Und dieses Integral kann man streng genommen nur mit einer "Minisubstitution" $v(u)=u+1$ bestimmen, denn dann hast du wirklich $-\int {v^{-2}}dv}$ da stehen und kannst "direkt" die Stammfunktion hinschreiben. Bei $-\int {\bruch{1}{(u+1)^{2}}du}$ müsste man zumindest nochmal kurz nachdenken...
> Aber was komisch ist, dass die irgendwie nicht ganz stimmt,
> ich habe es mit meinem graphikfähigen taschenrechner
> überprüft, dass bei der ableitung der stammfunktion nicht
> exakt die Originalfunktion rauskommt... Kann das sein oder
> hab ich mich vielleicht vertippt? (Hab alles noch mal
> nachgeprüft... hummmm....)
In beiden Fällen (also egal ob $u(x)=e^{-x}$ oder $u(x)=e^{-x}+1$) kommen wir doch auf $\int {\bruch{e^{-x}}{(e^{-x}+1)^{2}}dx}=\bruch{1}{1+e^{-x}}$ und das ist in der Tat eine Stammfunktion von $\bruch{e^{-x}}{(e^{-x}+1)^{2}}$.
Leiten wir es doch mal ab:
$\bruch{d}{dx}(1+e^{-x})^{-1}=-e^{-x}\cdot\left(-(1+e^{-x})^{-2}\right)=\bruch{e^{-x}}{(e^{-x}+1)^{2}}$.
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 Do 02.02.2006 | | Autor: | Jette87 |
Danke, perfekt. Naja, bei dem unter dem Bruchstrich muss ich nicht viel nachdenken, das geht schon.
Hatte nur vorhin und immer noch tierische Kopfschmerzen und musste auch noch mal weg. Ich fand auch nirgends nen Fehler, hatte deswegen schon alles so aufgeschrieben!!! ;))
Ich danke dir noch mal ganz doll!!!
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