Integration der Kraft < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
Hallo Leute,
und zwar hab ich hier grad Probleme einen Schritt nachzuvollziehen, der beim Beweis der Energieerhaltung in einem Kraftfeld auftaucht.
[mm]
\integral_{1}^{1}{\vec{F} d\vec{r}} = m\integral_{t_1}^{t_2} \dot{\vec{v}}(t)\cdot}\vec{v}(t)dt = \integral_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt}(\frac{m}{2}v^2(t))dt
[/mm]
Jetzt hab ich allerdings Probleme den letzen Schritt nachzuvollziehen. Da ich auch erst in der 13. bin hab ich noch nicht alzu viel Ahnung von Integration. Also wenn mir vielleicht jemand einen zwischen Schritt erläutern könnte.
Grüße
und vielen Dank im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo, und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Beide Schritte basieren eigentlich auf recht einfachen Integrationsregeln, sofern man sie erkennt.
Zunächst wir substituiert:
[mm] \vec{a}(\vec{r})\,d\vec{r}=\dot{\vec{v}}(\vec{r})\,d\vec{r} [/mm] , und nun wird [mm] \vec{r} [/mm] gegen t substituiert.
[mm] \vec{a}=\dot{\vec{v}} [/mm] und die Substitutionsvarible: [mm] \frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v}(t)\Rightarrowd\vec{r}=\vec{v}(t)\,dt
[/mm]
macht zusammen [mm] \dot{\vec{v}}\vec{v}(t)\,dt [/mm] .
Den nachfolgenden Trick betrachtest du am besten rückwärts. Leite den Ausdruck [mm] (v(t))^2 [/mm] ab. Gemäß Kettenregel (innere mal äußere) ist das doch [mm] 2\dot{v}v [/mm] . Also [mm] \dot{\vec{v}}\vec{v}(t)=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\vec{v}^2 [/mm] . Das ist alles beim zweiten Schritt.
|
|
|
|
