Integration d. Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo Leute.
Bei folgender Aufgabe soll die Stammfunktion gebildet werden.
[mm] \integral_{a}^{b} \bruch{4}{1+ 2\wurzel{x}} [/mm] dx
Nach eigener Erfahrung würde ich auf die Substitution z:=1+ [mm] 2\wurzel{x} [/mm] tendieren
Daraus ergibt sich z' = [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}}
[/mm]
dx = [mm] \bruch{dz}{z'}
[/mm]
= [mm] \integral_{z(a)}^{z(b)} \bruch{4}{1+ 2\wurzel{x}} \bruch{dz}{\bruch{1}{\wurzel{x}}}
[/mm]
= [mm] 4\integral_{z(a)}^{z(b)} \bruch{1}{1+ 2\wurzel{x}} dz*\wurzel{x}
[/mm]
Und wie mache ich nun weiter?
Meine Idee war: Irgendwie den Term mit K und T so zu erweitern, dass sich das [mm] \wurzel{x} [/mm] mit T wegkürzt und man mit dem anderen K wiederum auf z kommt. Klingt kompliziert, aber evtl. seht ihr hier, was ich meine
= [mm] 4\integral_{z(a)}^{z(b)} \bruch{1}{1+ 2\wurzel{x}} dz*\wurzel{x}* \bruch{1}{ \wurzel{x}- \wurzel{x}}
[/mm]
1. Problem. Dieser letzte Bruch, den ich da neu hinzugefügt habe, ergibt im Nenner Null. Das darf eigentlich nicht!
Deswegen ist das ja falsch.
In einem vorherigen Ansatz bin ich auf:
[mm] \bruch{ \bruch{1}{2(\wurzel{x}- \wurzel{x})}}{1+ 2\wurzel{x}}
[/mm]
Mein Problem ist also nun, ich habe keinen blaßen Schimmer, wie ich meinen Bruch nun erweitern muss, damit sich das z' rauskürzt.
Evtl. ist das aber auch die falsche Idee gewesen (Bruch erweitern).
Die Substitution, die ich definiert habe, halte ich für durchaus sinnvoll. Ist evtl. sogar die einzige Möglichkeit.
Grüße Johann
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Hallo Johann
> Bei folgender Aufgabe soll die Stammfunktion gebildet
> werden.
>
> [mm]\integral_{a}^{b} \bruch{4}{1+ 2\wurzel{x}}[/mm] dx
>
> Nach eigener Erfahrung würde ich auf die Substitution z:=1+
> [mm]2\wurzel{x}[/mm] tendieren
> Daraus ergibt sich z' = [mm]\bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm]
>
> dx = [mm]\bruch{dz}{z'}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{z(a)}^{z(b)} \bruch{4}{1+ 2\wurzel{x}} \bruch{dz}{\bruch{1}{\wurzel{x}}}[/mm]
>
> = [mm]4\integral_{z(a)}^{z(b)} \bruch{1}{1+ 2\wurzel{x}} dz*\wurzel{x}[/mm]
>
> Und wie mache ich nun weiter?
>
Du musst im Integranden entweder nur x oder nur z haben, aber nicht beide. Deswegen musst du x durch sein Ausdruck in z ersetzen.
> Meine Idee war: Irgendwie den Term mit K und T so zu
> erweitern, dass sich das [mm]\wurzel{x}[/mm] mit T wegkürzt und man
> mit dem anderen K wiederum auf z kommt. Klingt kompliziert,
> aber evtl. seht ihr hier, was ich meine
>
> = [mm]4\integral_{z(a)}^{z(b)} \bruch{1}{1+ 2\wurzel{x}} dz*\wurzel{x}* \bruch{1}{ \wurzel{x}- \wurzel{x}}[/mm]
>
> 1. Problem. Dieser letzte Bruch, den ich da neu hinzugefügt
> habe, ergibt im Nenner Null. Das darf eigentlich nicht!
>
> Deswegen ist das ja falsch.
>
> In einem vorherigen Ansatz bin ich auf:
>
> [mm]\bruch{ \bruch{1}{2(\wurzel{x}- \wurzel{x})}}{1+ 2\wurzel{x}}[/mm]
>
> Mein Problem ist also nun, ich habe keinen blaßen Schimmer,
> wie ich meinen Bruch nun erweitern muss, damit sich das z'
> rauskürzt.
> Evtl. ist das aber auch die falsche Idee gewesen (Bruch
> erweitern).
>
> Die Substitution, die ich definiert habe, halte ich für
> durchaus sinnvoll. Ist evtl. sogar die einzige
> Möglichkeit.
[mm]x=\bruch{(z-1)^{2}}{4},\qquad dx=\bruch{z-1}{2}\ dz[/mm]
[mm]I=\integral{\bruch{4(z-1)}{2z}\ dz}[/mm]
Der Integrand ist jetzt eine rationale Funktion.
Alles klar?
Schöne Grüße, 
Ladis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Phoney |
Guten Morgen.
Danke Ladislauradu, wäre die Substitution vorgegeben, würde ich auch auf die Stammfunktion kommen. Da sie das nicht ist, habe ich allerdings noch ein paar Fragen.
> > Die Substitution, die ich definiert habe, halte ich für
> > durchaus sinnvoll. Ist evtl. sogar die einzige
> > Möglichkeit.
>
> [mm]x=\bruch{(z-1)^{2}}{4},\qquad dx=\bruch{z-1}{2}\ dz[/mm]
>
> [mm]I=\integral{\bruch{4(z-1)}{2z}\ dz}[/mm]
>
> Der Integrand ist jetzt eine rationale Funktion.
>
> Alles klar?
Wo ist hierbei der Trick? Ich weiss nicht, wie man auf die Substitution [mm] x=\bruch{(z-1)^{2}}{4} [/mm] kommt? Mit sehr langem Probieren und unzähligen Ansätzen kann ich mir vorstellen, dass ich da durch Zufall die Substitution hätte.
Und wie wäre das mit meiner vorgeschlagenen Substitution $ z:=1+ [mm] 2\wurzel{x} [/mm] $ ? Ist die schlicht und ergreifend falsch oder wäre es damit auch möglich. Wie würde das dann gehen?
Grüße Johann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Johann!
> Und wie wäre das mit meiner vorgeschlagenen Substitution
> [mm]z:=1+ 2\wurzel{x}[/mm] ? Ist die schlicht und ergreifend falsch
> oder wäre es damit auch möglich. Wie würde das dann gehen?
Das ist doch exakt Deine gewählte Substitution ...
Stelle Deinen Term mal nach $x \ = \ ...$ um!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo Loddar.
> Das ist doch exakt Deine gewählte Substitution ...
>
> Stelle Deinen Term mal nach [mm]x \ = \ ...[/mm] um!
Hoppla, jetzt seh ich es auch. Problem erledigt.
Danke dir, Loddar.
Grüße Johann
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