Forum "Integration" - Integration coshx - Vorkurse

Ein Projekt von vorhilfe.de

Die Online-Kurse der Vorhilfe E-Learning leicht gemacht.
	Hallo Gast! [ einloggen \| registrieren ]
	Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum

Forenbaum

Schule

VK 37: Kurvendiskussionen

VK 59: Lineare Algebra

VK 60: Analysis

Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation

Startseite...
Neuerdings beta neu
Forum...
vorwissen...
vorkurse...
Werkzeuge...
Nachhilfevermittlung beta...
Online-Spiele beta
Suchen
Verein...
Impressum

Das Projekt

Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.

Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.

Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.

Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".

Partnerseiten

Weitere Fächer:

Vorhilfe.de

FunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme

Forum "Integration" - Integration coshx

Integration coshx < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

Ansicht:

[ geschachtelt ]

Forum "Integration" |

Alle Foren |

Forenbaum | Materialien

Integration coshx: Aufgabe

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	19:26 So 11.03.2007
Autor:	Raingirl87

Aufgabe

 Berechnen Sie das bestimmte Integral 

[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{coshx + 2} dx} [/mm]

Hallo!
Ich habe nun schon einige Substitutionen für coshx ausprobiert aber komme leider auf keine Lösung. :(
Hab z.B. einfach coshx=t gesetzt aber das bringt nix und dann hab ich x=arccoshx probiert aber das klappt irgendwie auch nicht. :(
Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
Wär echt super!
Danke!
Lg, Raingirl87

Bezug

Integration coshx: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	20:25 So 11.03.2007
Autor:	schachuzipus

Hallo Raingilrl,

das ist ja mal ein Hammerintegral ;-)

Ich hab's mit einiger Mühe und 2 Substitutionen auf die Form [mm] \integral{\bruch{1}{1-z^2}dz} [/mm] gebracht. Und das steht in der Formelsammlung als [mm] \bruch{1}{2}ln\left|\bruch{1+z}{1-z}\right| [/mm]

Also:

[mm] cosh(x)=\bruch{e^x+e^{-x}}{2} \Rightarrow \bruch{1}{cosh(x)+2}=\bruch{2}{e^x+e^{-x}+4} [/mm]

Damit ist [mm] \integral{\bruch{1}{cosh(x)+2}dx}=2\integral{\bruch{1}{e^x+e^{-x}+4}dx} [/mm]

erste Substitution: x:=ln(u) [mm] \Rightarrow \bruch{dx}{du}=\bruch{1}{u} \Rightarrow dx=\bruch{du}{u} [/mm]

Damit ist [mm] 2\integral{\bruch{1}{e^x+e^{-x}+4}dx}=2\integral{\bruch{1}{u+\bruch{1}{u}+4}\bruch{du}{u}}=2\integral{\bruch{udu}{(u^2+4u+1)u}du}=2\integral{\bruch{1}{u^2+4u+1}du} [/mm]

[mm] =2\integral{\bruch{1}{(u+2)^2-3}du}=-2\integral{\bruch{1}{3-(u+2)^2}du}=-2\integral{\bruch{1}{3\left[1-\left(\bruch{u+2}{\wurzel{3}}\right)^2\right]}du} [/mm]

[mm] =-\bruch{2}{3}\integral{\bruch{1}{1-\left(\bruch{u+2}{\wurzel{3}}\right)^2}du} [/mm]

Nun die 2. Substitution: [mm] z:=\bruch{u+2}{\wurzel{3}} \Rightarrow \bruch{dz}{du}=\bruch{1}{\wurzel{3}} \Rightarrow du=\wurzel{3}dz [/mm]

Also [mm] -\bruch{2}{3}\integral{\bruch{1}{1-\left(\bruch{u+2}{\wurzel{3}}\right)^2}du}=-\bruch{2}{3}\integral{\bruch{1}{1-z^2}\wurzel{3}dz}=-\bruch{2}{\wurzel{3}}\integral{\bruch{1}{1-z^2}dz}=-\bruch{2}{\wurzel{3}}\bruch{1}{2}ln\left|\bruch{1+z}{1-z}\right|=-\bruch{1}{\wurzel{3}}ln\left|\bruch{1+z}{1-z}\right| [/mm]

Das Rücksubstituieren überlasse ich dir

Alles ist ohne Gewähr und sieht sehr danach aus, als müsse es eine einfachere Lösung geben.

Vielleicht weiß jemand anderes ja eine ;-)