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Integration Wurzel: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:47 Mo 28.07.2008
Autor: sweety_88

Aufgabe
Berechne das unbestimmte integral von [mm] \wurzel{1-x²}! [/mm]

Ich weiß momentan gar nicht wo ich anfangen soll! Habe es schon mit substitution versucht. Macht aber gar keinen sinn. Ich hab das gefühl ich seh den wald vor lauter bäumen nicht. Ist doch bestimmt eine total simple lösung, oder?!
Über schnelle hilfe würde ich mich freuen :)!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Integration Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:52 Mo 28.07.2008
Autor: M.Rex

Hallo

Es gilt, wie du []hier nachlesen kannst:

[mm] f(x)=\wurzel{a²-x²} [/mm] hat die Stammfkt
[mm] F(x)=\frac{x}{2}*\sqrt{a²-x²}+\frac{a²}{2}*\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) [/mm]

Also hier:

[mm] F(x)=\frac{x}{2}*\sqrt{1-x²}+\bruch{1}{2}\arcsin(x) [/mm]

Ich vermute mal, da kommt man so ohne weiteres nicht drauf.

Marius

Bezug
                
Bezug
Integration Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:40 Mo 28.07.2008
Autor: sweety_88

Ganz lieben dank! War ja doch gar keine so einfache lösung =)!

Bezug
        
Bezug
Integration Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:56 Mo 28.07.2008
Autor: schachuzipus

Hallo ihr beiden,

man kann schon darauf kommen, wenn man das Additionstheorem [mm] $\sin^2(z)+\cos^2(z)=1$ [/mm] im Blick hat.

Dann kann man die Substitution [mm] $x:=\sin(z)$ [/mm] versuchen

Dann ist [mm] $\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\sin^2(z)}=\sqrt{\cos^2(z)}=\cos(z)$ [/mm]

Weiter [mm] $\frac{dx}{dz}=\cos(z)$, [/mm] also [mm] $dx=\cos(z) [/mm] \ dz$

Also wird aus deinem Integral [mm] $\int{\sqrt{1-x^2} \ dx}=\int{\cos^2(z) \ dz}$ [/mm] wird

Das kannst du partiell integrieren und am Ende wieder resubstituieren


LG

schachuzipus

Bezug
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