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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 Fr 18.07.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Ich möchte folgendes Integral bestimmen:
[mm] $\int \sqrt{\cosh(2x)+1}\, [/mm] dx$ |
Hi,
ich würde gerne das Integral
[mm] $\int \sqrt{\cosh(2x)+1}\, [/mm] dx$
bestimmen. Leider fällt mir keine geschickte Subsitution ein. Wenn ich einfach
[mm] $u=\cosh(2x)+1$
[/mm]
wähle, dann stört später der ausgleich durch den [mm] $\sinh$
[/mm]
Gibt es eine geschickte Substitution?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Fr 18.07.2014 | | Autor: | abakus |
> Ich möchte folgendes Integral bestimmen:
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> [mm]\int \sqrt{\cosh(2x)+1}\, dx[/mm]
> Hi,
>
> ich würde gerne das Integral
>
> [mm]\int \sqrt{\cosh(2x)+1}\, dx[/mm]
>
> bestimmen. Leider fällt mir keine geschickte Subsitution
> ein. Wenn ich einfach
> [mm]u=\cosh(2x)+1[/mm]
>
> wähle, dann stört später der ausgleich durch den [mm]\sinh[/mm]
>
> Gibt es eine geschickte Substitution?
Hallo,
es sollte doch einen mathematischen Zusammenhang zwischen sinh(z) und cosh(z) geben der es dir erlaubt, sinh(z) durch cosh(z) (und damit auch durch u) auszudrücken.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Fr 18.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja, es gilt ja [mm] $\sinh^2(x)+\cosh^2(x)=\cosh(2x)$
[/mm]
Und ich könnte
[mm] $|\sinh(x)|=\sqrt{\cosh(2x)-\cosh^2(x)}$
[/mm]
ausdrücken. Ich finde nicht, dass es dadurch sonderlich einfacher wird...
Aber du kennst sicherlich einen brauchbareren Zusammenhang als ich.
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Außer deiner Formel gilt ja noch der "hyperbolische Pythagoras":
[mm]\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1[/mm]
Löse das nach [mm]\sinh^2 x[/mm] auf und setze es in deine Formel ein. Dann hast du es schon.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Fr 18.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Stimmt, ich hatte den hyperbolischen Pythagoras aber falsch im Kopf gehabt, bzw. konnte mich nicht mehr genau an ihn erinnern, hatte auch ein "+" gehabt, was jedoch falsch war.
So wird es tatsächlich ganz einfach, da es sich nur auf
[mm] $\sqrt{2}\int \sinh(x)\, [/mm] dx$
reduziert.
Und das ist ja einfach [mm] $\sqrt{2}\cosh(x)+c$
[/mm]
Richtig?
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Ein bißchen leichtsinnig.
[mm]\sqrt{2 \sinh^2 x} = \sqrt{2} \cdot \left| \sinh x \right|[/mm]
Bestimme eine Stammfunktion für [mm]x \geq 0[/mm] und eine für [mm]x \leq 0[/mm] und setze sie durch Anpassung der Integrationskonstanten bei [mm]x=0[/mm] so zusammen, daß insgesamt eine stetige Funktion entsteht. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung muß die dann automatisch auch bei [mm]x=0[/mm] differenzierbar sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Sa 19.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Hi,
ich habe die Aufgabe noch einmal nachgerechnet und sollte man nicht auf
[mm] $\sqrt{2}\int |cosh(x)|\, [/mm] dx$
kommen? Und da cosh immer positiv ist kann man den Betrag ignorieren?
Der Radikand lautet ja wie folgt
[mm] $sinh(x)^2+cosh(x)^2-sinh(x)^2+cosh(x)^2$
[/mm]
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> Hi,
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> ich habe die Aufgabe noch einmal nachgerechnet und sollte
> man nicht auf
>
> [mm]\sqrt{2}\int |cosh(x)|\, dx[/mm]
>
> kommen? Und da cosh immer positiv ist kann man den Betrag
> ignorieren?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Sa 19.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Vielen Dank.
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