Integration R^n < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei $K [mm] \subset \IR [/mm] $ der Durschnitt der beiden Zylinder
[mm] $Z_1 [/mm] := [mm] \{(x,y,z) \in \IR^3 | x^2+y^2\le1\}$
[/mm]
[mm] $Z_2 [/mm] := [mm] \{(x,y,z) \in \IR^3 | x^2+z^2\le1\}$
[/mm]
man berechne das Volumen von K. |
Hallo,
ich brauche ein Wenig Hilfestellung, ich weiß nicht genau wie ich die Fläche parametrisiere .
Anschaulich , ist das Volumen von $K$ ja grade die Kugel + " 4 *Ecken".
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Hallo freshstyle,
> Es sei [mm]K \subset \IR[/mm] der Durschnitt der beiden Zylinder
> [mm]Z_1 := \{(x,y,z) \in \IR^3 | x^2+y^2\le1\}[/mm]
> [mm]Z_2 := \{(x,y,z) \in \IR^3 | x^2+z^2\le1\}[/mm]
>
> man berechne das Volumen von K.
> Hallo,
> ich brauche ein Wenig Hilfestellung, ich weiß nicht genau
> wie ich die Fläche parametrisiere .
> Anschaulich , ist das Volumen von [mm]K[/mm] ja grade die Kugel + "
> 4 *Ecken".
>
Bestimme zunächst die Integrationsgrenzen. Diese bekommst aus der Gleichung der Schnittfläche [mm]x^{2}+y^{2}=x^{2}+z^{2}[/mm]
Dies ergibt die Grenzen für z.
Weitere Grenzen bekommst Du wenn die Ungleichung
[mm]0 \le x^{2}+y^{2} \le 1[/mm]
betrachtest. Das ergibt dann die Grenzen für y.
Löst Du das nach y auf, erhält man einen Wurzelausdruck, der nur definiert ist, wenn der Ausdruck unter der Wurzel [mm]\ge 0[/mm] ist. Daraus erhältst Du die Grenzen für x.
Gruß
MathePower
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Hallo,
$ [mm] x^{2}+y^{2}=x^{2}+z^{2} [/mm] $
auflösen nach $ z $
$ [mm] z_1 [/mm] = y $ und $ [mm] z_2 [/mm] = -y $
$ 0 [mm] \le x^{2}+y^{2} \le [/mm] 1 $
wenn ich das nach $ y $ auflöse , erhalte ich als Grenzen für das Integral
$ [mm] \sqrt{1 - x^{2}} [/mm] $ und $- [mm] \sqrt{1 - x^{2}} [/mm] $
Zusammen erhalte ich :
$ [mm] \integral_{1}^{-1}{\integral_{ \sqrt{1 - x^{2}}}^{- \sqrt{1 - x^{2}}}{ \integral_{y}^{-y}{1 * dz*dy*dx}}} [/mm] $
Für x habe ich ein mal 1 , -1 eingesetzt.
Woher weißt ich das das richtig ist?
Danke freshstyle
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Hallo freshstyle,
> Hallo,
> [mm]x^{2}+y^{2}=x^{2}+z^{2}[/mm]
>
> auflösen nach [mm]z[/mm]
> [mm]z_1 = y[/mm] und [mm]z_2 = -y[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]0 \le x^{2}+y^{2} \le 1[/mm]
>
> wenn ich das nach [mm]y[/mm] auflöse , erhalte ich als Grenzen für
> das Integral
> [mm]\sqrt{1 - x^{2}}[/mm] und [mm]- \sqrt{1 - x^{2}}[/mm]
>
> Zusammen erhalte ich :
>
> [mm]\integral_{1}^{-1}{\integral_{ \sqrt{1 - x^{2}}}^{- \sqrt{1 - x^{2}}}{ \integral_{y}^{-y}{1 * dz*dy*dx}}}[/mm]
>
> Für x habe ich ein mal 1 , -1 eingesetzt.
> Woher weißt ich das das richtig ist?
Weil ich auch die Grenzen herausbekommen habe.
Das ist alles richtig, nur hast Du die Grenzen bei der Zusammenfassung verdreht:
[mm]\integral_{-1}^{+1}{\integral_{- \sqrt{1 - x^{2}}}^{+ \sqrt{1 - x^{2}}}{ \integral_{-y}^{+y}{1 * dz*dy*dx}}}[/mm]
> Danke freshstyle
Gruß
MathePower
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