Integration, Polorkoordinaten < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:23 Mi 10.12.2008 | | Autor: | ethernity |
| Aufgabe |
Sei [mm]\Omega=B_R(0)[/mm] eine offene Kugel in [mm]\IR[/mm]
Zeigen sie, dass die Funktion:
[mm] u(x)=(-\log|x|)^k [/mm] mit [mm] k<0.5[/mm]
in [mm]L^2(B_R(0))[/mm] liegt.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es ist klar, dass ich zeigen muss, dass [mm] ||u(x)||_2<\infty[/mm] ist.
Also habe ich umgeformt:
[mm][mm] ||u||_2 [/mm] = [mm] (\integral_{\Omega} |(-\log (x^2+y^2)^{\bruch{1}{2}})^k|^2)^\bruch{1}{2}
[/mm]
Nun wollte ich das ganze in Polarkoordinaten umwandeln:
[mm] x=r*\cos \phi, y=r*\sin \phi[/mm]
Das müsste dann ungefähr so aussehen:
[mm](\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2\pi}|(-\log r)^k|^2 d\phi dr)^{\bruch{1}{2}}
\le (\integral_{0}^{1}2\pi (-\log r)^{2k}dr)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
Wie komm ich nun weiter?
Die Stammfunktion von [mm] \log r [/mm] ist ja [mm] \bruch{1}{r} [/mm]
Dies wäre über null ja gar nicht definiert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Do 11.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Du hast bei der Transformation auf Polarkoordinaten die Funktionaldeterminante vergessen; es fehlt also ein Faktor r im Integranden.
Viele Grüße
Rainer
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Hi Rainer,
danke für den Hinweis kannst du das etwas genauer erklären?
Leider wurden bei mir Polarkoordinaten nur kurz behandelt.
Achja ich hatte das alles noch weiter ausgerechnet und kam hinterher
[mm][r*\log (r)]_{0}^{1} [/mm]
problem ist darf man sowas wie [mm] 0 * log 0 [/mm] überhaupt berechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Di 16.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi Rainer,
> danke für den Hinweis kannst du das etwas genauer
> erklären?
> Leider wurden bei mir Polarkoordinaten nur kurz
> behandelt.
Hm, da du in deinem Profil angegeben hast, dass du im Hauptstudium bist, ging ich davon aus, dass du das weisst.
Bei Koordinatentransformationen im Integral gilt der ![[]](/images/popup.gif) Transformationssatz.
> Achja ich hatte das alles noch weiter ausgerechnet und kam
> hinterher
> [mm][r*\log (r)]_{0}^{1}[/mm]
> problem ist darf man sowas wie [mm]0 * log 0[/mm] überhaupt
> berechnen?
Das ist ein uneigentliches Integral, da musst du den Grenzwert [mm] $\lim_{x\to0} x*\log [/mm] x$ berechnen. Schreib mal auf, was du gerechnet hast!
Was mir gerade noch auffällt: mir ist die Definition der Funktion $u(x) = [mm] (-\log(|x|)^k$ [/mm] nicht klar. Wie ist das für $|x|>1$ und $k<0,5$ gemeint?
Viele Grüße
Rainer
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