Integration Komplexer Funktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo Leute.
Habe mal eine dringende Frage zur Integration einer Komplexen Folge. Hoffe ihr könnt mir helfen.
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{x-i}{x+i} dx}
[/mm]
Was ich ja in der regel mit Komplexen Brüchen mache ist, diese mit dem konjugiert komplexen Nenner zu multiplizieren.
[mm] \Rightarrow \bruch{x-i}{x+i}=\bruch{(x-i)(x-i)}{(x+i)(x-i)}=\bruch{x^2-2xi-1}{x^2+1}
[/mm]
Ich halte mich nun nach der Formel [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\integral_{a}^{b}{u(x) dx}+i\integral_{a}^{b}{v(x) dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{a}^{b}{\bruch{x-i}{x+i} dx}=\integral_{a}^{b}{1 dx}-i\integral_{a}^{b}{\bruch{2x}{x^2+1} dx}
[/mm]
Wäre das bis hierhin korrekt oder gibt es eventuell verbesserungsvorschläge???
MFG domenigge135
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Zorba |
Vielleicht kannst du hier eine Partialbruchzerlegung anwenden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Hast Du noch Infos zu $x_$ , ist $x_$ reell oder komplex?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
leider keine Infos zu x!!!
Aber eigentlich sollte bei der multiplikation mit dem konjugiert komplexen nenner etwas rauskommen wie [mm] \bruch{x-i}{x+i}=\bruch{(x-i)(x-i)}{(x+i)(x-i)}=\bruch{x^2+1}{x^2+1}-\bruch{2}{x^2+1}-i\bruch{2x}{x^2+1}
[/mm]
Was ich irgendwie gerade nicht so ganz nachvollziehen kann.
|
|
|
| |
|
... Sorry mein Post von ebend sollte eigentlich eine Frage sein!!!
MFG domenigge135
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Domeniggue,
> leider keine Infos zu x!!!
na, da steht doch [mm] $\blue{\int_{0}^1}f(x)\;\text{d}x$. [/mm] Was bedeutet das denn für [mm] $\black{x}$?
[/mm]
> Aber eigentlich sollte bei der multiplikation mit dem
> konjugiert komplexen nenner etwas rauskommen wie
> [mm]\bruch{x-i}{x+i}=\bruch{(x-i)(x-i)}{(x+i)(x-i)}=\bruch{x^2+1}{x^2+1}-\bruch{2}{x^2+1}-i\bruch{2x}{x^2+1}[/mm]
> Was ich irgendwie gerade nicht so ganz nachvollziehen
> kann.
Na, rechne mal getrennt:
Zähler:
[mm] $(x-i)*(x-i)=x^2-2xi+\underbrace{i^2}_{=-1}=(x^2-1)-i*2x$
[/mm]
Nenner:
[mm] $(x+i)*(x-i)=x^2-i^2=x^2-(-1)=x^2+1$
[/mm]
Und im Zähler hat man dann noch $-1=1-2$ ausgenutzt:
Zähler:
[mm] $(x-i)*(x-i)=(x^2-1)-i*2x=x^2+1-2-i*2x$
[/mm]
Weil man dann das Gesamtintegral in "schöne" einzelne Integrale zerlegen kann...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Okay. Nur für mich wird nicht wirklich erstichtlich, warum -1=1-2 ist.
Versteh das irgendwie nicht. Sorry.
MFG domenigge135
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Do 23.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay. Nur für mich wird nicht wirklich erstichtlich, warum
> -1=1-2 ist.
na, Du hast doch sicher in der Schule gelernt, wie man $1-2$ ausrechnet? Das ist ein Niveau kurz nach der Grundschule ^^
Aber meinetwegen schreib' ich es Dir auch nochmal so hin:
$$-1=0+(-1)=(1+(-1))+(-1)=1+((-1)+(-1))=1+(-2)=1-2$$
Ich hoffe, es lag' nur daran, dass Du noch nicht ganz wach warst heute morgen 
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
ja gut das kapier ich schon ^^. Allerdings ist mir nicht klar ich probier dir mal mein Problem anders zu schildern.
[mm] \integral^{1}_{0}\bruch{x-i}{x+i}dx
[/mm]
Was ich nun zunächst mache, ist, wie wir schon geklärt haben, mit dem konjugiert komplexen Nenner zu erweitern.
[mm] \Rightarrow \bruch{x-i}{x+i}=\bruch{(x-i)^2}{(x+i)(x-i)}=\bruch{x^2-1}{x^2+1}-i\bruch{2x}{x^2+1}
[/mm]
also würde ich das Integral schreiben als [mm] \integral^{1}_{0}\bruch{x-i}{x+i}dx=\integral^{1}_{0}\bruch{x^2-1}{x^2+1}dx-i\integral^{1}_{0}\bruch{2x}{x^2+1}dx
[/mm]
Okay und jetzt schätze ich, dass du [mm] \bruch{x^2-1}{x^2+1} [/mm] folgendermaßen kürzt, nämlich [mm] \bruch{(x^2+1)-2}{x^2+1} [/mm] und das ergibt dann halt [mm] \bruch{-2}{x^2+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral^{1}_{0}\bruch{x-i}{x+i}dx=\integral^{1}_{0}1-\bruch{2}{x^2+1}dx-i\integral^{1}_{0}\bruch{2x}{x^2+1}dx
[/mm]
Und der rest ist dann nur noch integrieren oder???
MFG domenigg135 und danke für eure Hilfe...
|
|
|
| |
|
Hallo domenigge,
> ja gut das kapier ich schon ^^. Allerdings ist mir nicht
> klar ich probier dir mal mein Problem anders zu schildern.
>
> [mm]\integral^{1}_{0}\bruch{x-i}{x+i}dx[/mm]
>
> Was ich nun zunächst mache, ist, wie wir schon geklärt
> haben, mit dem konjugiert komplexen Nenner zu erweitern.
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{x-i}{x+i}=\bruch{(x-i)^2}{(x+i)(x-i)}=\bruch{x^2-1}{x^2+1}-i\bruch{2x}{x^2+1}[/mm]
>
> also würde ich das Integral schreiben als
> [mm]\integral^{1}_{0}\bruch{x-i}{x+i}dx=\integral^{1}_{0}\bruch{x^2-1}{x^2+1}dx-i\integral^{1}_{0}\bruch{2x}{x^2+1}dx[/mm]
>
> Okay und jetzt schätze ich, dass du [mm]\bruch{x^2-1}{x^2+1}[/mm]
> folgendermaßen kürzt, nämlich [mm]\bruch{(x^2+1)-2}{x^2+1}[/mm] und
> das ergibt dann halt [mm] $\red{1+}\bruch{-2}{x^2+1}$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\Rightarrow \integral^{1}_{0}\bruch{x-i}{x+i}dx=\integral^{1}_{0}1-\bruch{2}{x^2+1}dx-i\integral^{1}_{0}\bruch{2x}{x^2+1}dx[/mm]
>
> Und der rest ist dann nur noch integrieren oder???
So ist es!
>
> MFG domenigg135 und danke für eure Hilfe...
>
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Mi 22.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{x-i}{x+i} dx}[/mm]
>
> Was ich ja in der regel mit Komplexen Brüchen mache ist,
> diese mit dem konjugiert komplexen Nenner zu
> multiplizieren.
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{x-i}{x+i}=\bruch{(x-i)(x-i)}{(x+i)(x-i)}=\bruch{x^2-2xi-1}{x^2+1}[/mm]
>
> Ich halte mich nun nach der Formel [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\integral_{a}^{b}{u(x) dx}+i\integral_{a}^{b}{v(x) dx}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{a}^{b}{\bruch{x-i}{x+i} dx}=\integral_{a}^{b}{1 dx}-i\integral_{a}^{b}{\bruch{2x}{x^2+1} dx}[/mm]
Du hast dich verrechnet: im Zähler steht -1, nicht +1. Also:
[mm] \integral_{0}^{1} \bruch{x^2-1}{x^2+1} dx -i\integral_{0}^{1}{\bruch{2x}{x^2+1} dx} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
