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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Integration II
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Integration II: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:18 Fr 24.10.2008
Autor: meep

Aufgabe
Sei [mm] B_{R}(0) \subset \IR^3 [/mm]

Berechne [mm] \integral_{B_{R}(0)} (x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2) [/mm] dx dy dz

Hi,

hier habe ich dann Kugelkoordinaten gewählt um kam dann auf:

1.

[mm] \integral_{0}^{2 \pi} \integral_{0}^{\pi} \integral_{0}^{R} (r^2 sin^2 \theta cos^2 \phi [/mm] + [mm] r^2 sin^2 \theta sin^2 \phi [/mm] + [mm] r^2 cos^2 \theta) r^2 [/mm] sin [mm] \theta [/mm] dr [mm] d\theta d\phi [/mm]

2. Ausklammern von [mm] r^2 [/mm] und zusammenfassen von cos und sin ergibt dann:

[mm] \integral_{0}^{2 \pi} \integral_{0}^{\pi} \integral_{0}^{R} r^4 [/mm] sin [mm] \theta [/mm] dr [mm] d\theta d\phi [/mm]

3. Integration nach r und einsetzen der Grenzen ergibt dann:

[mm] \integral_{0}^{2 \pi} \integral_{0}^{\pi} (\bruch{R^5}{5} [/mm] sin [mm] \theta) d\theta d\phi [/mm]

4. Integration nach [mm] \theta [/mm] und einsetzen:

[mm] \integral_{0}^{2 \pi} \bruch{2R^5}{5} d\phi [/mm]

5. Integration nach [mm] \phi [/mm] und einsetzen

[mm] \bruch{2R^5}{5}*2\pi [/mm] =  [mm] \bruch{4 \pi R^5}{5} [/mm]

Stimmt das Ergebnis ?

Danke im Voraus

Marc

        
Bezug
Integration II: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:50 Fr 24.10.2008
Autor: fred97


> Sei [mm]B_{R}(0) \subset \IR^3[/mm]
>  
> Berechne [mm]\integral_{B_{R}(0)} (x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2)[/mm] dx dy dz
>  Hi,
>  
> hier habe ich dann Kugelkoordinaten gewählt um kam dann
> auf:
>  
> 1.
>
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi} \integral_{0}^{\pi} \integral_{0}^{R} (r^2 sin^2 \theta cos^2 \phi[/mm]
> + [mm]r^2 sin^2 \theta sin^2 \phi[/mm] + [mm]r^2 cos^2 \theta) r^2[/mm] sin
> [mm]\theta[/mm] dr [mm]d\theta d\phi[/mm]
>  
> 2. Ausklammern von [mm]r^2[/mm] und zusammenfassen von cos und sin
> ergibt dann:
>  
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi} \integral_{0}^{\pi} \integral_{0}^{R} r^4[/mm]
> sin [mm]\theta[/mm] dr [mm]d\theta d\phi[/mm]
>  
> 3. Integration nach r und einsetzen der Grenzen ergibt
> dann:
>  
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi} \integral_{0}^{\pi} (\bruch{R^5}{5}[/mm]
> sin [mm]\theta) d\theta d\phi[/mm]
>  
> 4. Integration nach [mm]\theta[/mm] und einsetzen:
>  
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi} \bruch{2R^5}{5} d\phi[/mm]
>  
> 5. Integration nach [mm]\phi[/mm] und einsetzen
>
> [mm]\bruch{2R^5}{5}*2\pi[/mm] =  [mm]\bruch{4 \pi R^5}{5}[/mm]
>  
> Stimmt das Ergebnis ?


Perfekt !

FRED

>  
> Danke im Voraus
>  
> Marc


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