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Hallo,
ich soll zeigen, dass falls nicht m=n=0 ist gilt:
| Aufgabe |
[mm] \frac{2}{\pi}\integral_{-1}^{1}{\frac{T_n(x)T_m(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx}=\delta_{nm}
[/mm]
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wobei [mm] T_n(x) [/mm] (bzw. [mm] T_m(x)) [/mm] Chebychev-Polynome sind, welche durch [mm] T_n(cos(\theta))=cos(n\theta) [/mm] definiert wurden.
Mein Ansatz: Substituiere x = [mm] cos(\theta)
[/mm]
[mm] \frac{dx}{d\theta}=-sin(\theta)
[/mm]
[mm] \frac{2}{\pi}\integral_{-1}^{1}{\frac{T_n(x)T_m(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx}
[/mm]
=
[mm] \frac{2}{\pi}\integral_{-1}^{1}{\frac{T_n(cos(\theta))T_m(cos(\theta))}{\sqrt{1-cos^2(\theta)}}(-sin(\theta)) d\theta}
[/mm]
=
[mm] \frac{2}{\pi}\integral_{-1}^{1}{\frac{cos(n\theta)cos(m\theta)}{\pm sin(\theta)}(-sin(\theta)) d\theta}
[/mm]
=
[mm] \pm \frac{2}{\pi}\integral_{-1}^{1}{cos(n\theta)cos(m\theta)d\theta}
[/mm]
Schön, es vereinfacht sich durch die Substitution also sehr, leider ist das verbleibende Integral nicht gerade einfach. Singularitäten gibt es auch keine, sodass man den Residuensatz auch nicht anwenden kann.
(oder ist das eine funktion deren stammfunktion man kennen müsste?)
(Komplexe Analysis steht mir auch zur Verfügung, wenn man also irgendwie das ganze auf ein komplexes Integral zurückführen müsste, darf ich das auch verwenden)
LG,
HP
Edit: ich hatte die integrationsgrenzen falsch substitiert, trotzdem wird es nicht einfacher. habe den text oben geändert.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Mo 27.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Tipp: benutze die Identität
[mm] \cos\alpha \cos\beta = \bruch{1}{2} \left(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) \right) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
danke für Deine Antwort. Diese Identität habe ich vor der ganzen Fülle an trigonometrischen Formeln gar nicht gefunden.
ich nehme mal an, beim [mm] \delta_{nm} [/mm] handel es sich um das kronecker-delta.
also:
Fall n=m
[mm] \pm \frac{2}{\pi}\integral_{-1}^{1}{cos(n\theta)cos(m\theta)d\theta}
[/mm]
= [mm] \pm \frac{2}{\pi}\integral_{-1}^{1}{cos(n\theta)cos(n\theta)d\theta}
[/mm]
= [mm] \pm \frac{2}{\pi} \left(1+\frac{cos(n)sin(n)}{n}\right)
[/mm]
= [mm] \pm \frac{2n+sin(2n)}{n\pi}
[/mm]
[mm] \stackrel{?}{=} [/mm] 1
Fall [mm] n\not=m
[/mm]
[mm] \pm \frac{2}{\pi}\integral_{-1}^{1}{cos(n\theta)cos(m\theta)d\theta}
[/mm]
= [mm] \pm \frac{2}{\pi} \frac{2m \cos(n)\sin(m)-2n\cos(m)\sin(n)}{m^2-n^2}
[/mm]
= [mm] \frac{4m \cos(n)\sin(m)-4n\cos(m)\sin(n)}{m^2\pi-n^2\pi}
[/mm]
[mm] \stackrel{?}{=} [/mm] 0
Überseh ich irgendetwas wesentliches, um die von der aufgabe behaupteten aussagen [mm] "\stackrel{?}{=}..." [/mm] zu begründen?
LG,
HP
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Mo 27.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
>
> danke für Deine Antwort. Diese Identität habe ich vor der
> ganzen Fülle an trigonometrischen Formeln gar nicht
> gefunden.
>
> ich nehme mal an, beim [mm]\delta_{nm}[/mm] handel es sich um das
> kronecker-delta.
>
> also:
>
> Fall n=m
>
> [mm]\pm \frac{2}{\pi}\integral_{-1}^{1}{cos(n\theta)cos(m\theta)d\theta}[/mm]
Du hast die Integrationsgrenzen immer noch falsch: die Integration geht von 0 bis [mm] $\pi$, [/mm] und damit gibt's auch nur das positive Vorzeichen.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
danke für Deine Antwort. Jetzt hats geklappt 
LG,
HP
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