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| Aufgabe | Integriere:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{\wurzel{x+1}} dx} [/mm] |
Hallo ihr lieben,
hänge gerade an dieser Funktion...
Mein erster Schritt war die Wurzel umzuschreiben.. Ich mag keine Wurzeln... :)
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{\wurzel{x+1}} dx}
[/mm]
=
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{(x+1)^{\bruch{1}{2}}} dx}
[/mm]
Sooo.
Nun dachte ich, ich löse das Problem durch Substitution.
als mein u wähle ich x+1
also
du = u'(x) dx = 1du
Und jetzt stehe ich vor meinem Problem...
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{u^{\bruch{1}{2}}} du}
[/mm]
Ich dachte eigentlich, ich hätte ein x oder über (bei meinem du), so dass ich es kürzen könnte..
Geht ja aber hier leider nicht :(
Habt ihr einen Tip für mich ?
Danke sehr,
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Di 22.01.2008 | | Autor: | abakus |
Es gilt [mm] \bruch{x}{\wurzel{x+1}}=\bruch{x+1-1}{\wurzel{x+1}}=\wurzel{x+1}-\bruch{1}{\wurzel{x+1}}. [/mm] Die beiden Summanden dürftest du integrieren können.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 Di 22.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffi!
Es klappt auch mit Deiner Substitution. Bedenke, dass aus $u \ := \ x+1$ auch $x \ = \ u-1$ folgt.
Damit ergibt sich dann folgendes Integral:
[mm] $$\bruch{u-1}{\wurzel{u}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{u}{\wurzel{u}}-\bruch{1}{\wurzel{u}} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{u}-\bruch{1}{\wurzel{u}} [/mm] \ = \ [mm] u^{\bruch{1}{2}}-u^{-\bruch{1}{2}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Vielen Dank Euch beiden für den Ansatz.
Also prinzipiell verstehe ich, was gemacht wird..
u = x+ 1
x = u -1
Dann einsetzen...
Aber wieso darf ich denn sowas machen?
Bin ein wenig verwirrt...
Denn immer wenn ich Substituieren wollte habe ich sowas gemacht:
Angenommen u = x²
dx = u'(x) dx = 2x dx <=> dx = [mm] \bruch{1}{2x} [/mm] du
Oder ist das falsch....
Danke schonmal im Voraus :)
Edit:
Wie komst Du auf das [mm] \wurzel{u} [/mm] .... im dritte schritt..
Kann dir da nicht folgen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffi!
> Also prinzipiell verstehe ich, was gemacht wird..
>
> u = x+ 1
> x = u -1
>
> Dann einsetzen...
>
> Aber wieso darf ich denn sowas machen?
Warum solltest Du das nicht machen dürfen? Du hast doch die gewählte Substition $u \ = \ x+1$ lediglich mittels Äquivalenzumformung umgestellt. Sprich: Wir haben nichts vom Wert her verändert.
> Denn immer wenn ich Substituieren wollte habe ich sowas
> gemacht:
> Angenommen u = x²
> dx = u'(x) dx = 2x dx <=> dx = [mm]\bruch{1}{2x}[/mm] du
Es muss heißen: [mm] $d\red{u} [/mm] \ = \ 2x \ dx$ .
Aber sonst ist das die "klassische" Substitution - also völlig richtig.
> Edit:
> Wie komst Du auf das [mm]\wurzel{u}[/mm] .... im dritte schritt..
[mm] $$\bruch{u}{\wurzel{u}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{u^2}}{\wurzel{u}} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\bruch{u^2}{u}} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{u}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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