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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Mo 10.12.2012 | | Autor: | georgi84 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie in dem Vektorfeld $F=x^2a+y^2b+z^2c$ das Integral über die Oberfläche eines Würfels mit a=1. Er befindet sich im 1. Oktanten mit einer Ecke im Ursprung. |
Hallo, bei der Aufgabe bin ich ehrlich total überfragt.
Wie genau muss ich da jetzt vorgehen?
Wir sollen die Formel benutzen die ich hier angehangen habe. Danach soll das ganze nochmal mit dem Satz von Gauß gemacht werden.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Mo 10.12.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Berechnen Sie in dem Vektorfeld [mm]F=x^2a+y^2b+z^2c[/mm] das
> Integral über die Oberfläche eines Würfels mit a=1. Er
ist das die Originalaufgabenstellung? Das ist nämlich kein Vektorfeld, es sei denn mit a,b,c sind Vektoren gemeint. Was ist ein "Würfel mit a=1"? Soll a die Kantenlänge sein? Wenn das so ist, ist es ziemlich ungünstig sowohl den Vektor als auch die Kantenlänge mit dem gleichen Buchstaben zu bezeichnen.
> befindet sich im 1. Oktanten mit einer Ecke im Ursprung.
> Hallo, bei der Aufgabe bin ich ehrlich total überfragt.
>
> Wie genau muss ich da jetzt vorgehen?
> Wir sollen die Formel benutzen die ich hier angehangen
> habe. Danach soll das ganze nochmal mit dem Satz von Gauß
> gemacht werden.
>
> [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Aber Warum stellst Du hier die gleiche Frage zweimal?
https://vorhilfe.de/read?t=934991
Zur Aufgabe:
Dazu brauchst Du die Definition des Oberflächenintegrals. Zerlege den Würfel dann in seine sechs Teilflächen und berechne für jede das Oberflächenintegral. Die Summe der sechs Integrale ist dann das gesuchte Integral.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Mo 10.12.2012 | | Autor: | georgi84 |
a b und c sollen vektoren darstellen. Und mit a=1 ist die Kantenlänge gemeint. Ja es war etwas ungünstig das so zu benennen.
Ich weiß bloß nicht, wie ich das machen soll.
z.B. die Fläche in der x,z-Ebene:
[mm] $\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{{\vektor{x^2\\y^2\\z^2} \vert f_a \times f_c \vert dx}dz}$
[/mm]
Was setze ich nun für [mm] $f_a$ [/mm] und [mm] $f_c$ [/mm] ein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Mo 10.12.2012 | | Autor: | notinX |
> a b und c sollen vektoren darstellen. Und mit a=1 ist die
Ich nehme an a,b,c zeigen in Richtung von x,y,z.
> Kantenlänge gemeint. Ja es war etwas ungünstig das so zu
> benennen.
>
> Ich weiß bloß nicht, wie ich das machen soll.
>
> z.B. die Fläche in der x,z-Ebene:
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{{\vektor{x^2\\y^2\\z^2} \vert f_a \times f_c \vert dx}dz}[/mm]
>
> Was setze ich nun für [mm]f_a[/mm] und [mm]f_c[/mm] ein?
Was sagt denn die Definition? Das sind die partiellen Ableitungen der Flächenparametrisierung. In diesem Spezialfall sind das die beiden Einheitsvektoren in x- und z- Richtung.
>
>
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Mo 10.12.2012 | | Autor: | georgi84 |
> > a b und c sollen vektoren darstellen. Und mit a=1 ist die
>
> Ich nehme an a,b,c zeigen in Richtung von x,y,z.
>
> > Kantenlänge gemeint. Ja es war etwas ungünstig das so zu
> > benennen.
> >
> > Ich weiß bloß nicht, wie ich das machen soll.
> >
> > z.B. die Fläche in der x,z-Ebene:
> >
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{{\vektor{x^2\\y^2\\z^2} \vert f_a \times f_c \vert dx}dz}[/mm]
>
> >
> > Was setze ich nun für [mm]f_a[/mm] und [mm]f_c[/mm] ein?
>
> Was sagt denn die Definition? Das sind die partiellen
> Ableitungen der Flächenparametrisierung. In diesem
> Spezialfall sind das die beiden Einheitsvektoren in x- und
> z- Richtung.
>
> >
> >
>
Also würde das letztendlich zu :
[mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{{\vektor{x^2\\y^2\\z^2}dx}dz}[/mm]
werden oder?
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 07:11 Di 11.12.2012 | | Autor: | link963 |
> a b und c sollen vektoren darstellen. Und mit a=1 ist die
> Kantenlänge gemeint. Ja es war etwas ungünstig das so zu
> benennen.
>
> Ich weiß bloß nicht, wie ich das machen soll.
>
> z.B. die Fläche in der x,z-Ebene:
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{{\vektor{x^2\\y^2\\z^2} \vert f_a \times f_c \vert dx}dz}[/mm]
>
Wie kommst du darauf ? Du hast ein Vektorfeld. Also muss im Integral mindestens ein Skalarprodukt stehen.
[mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{\vec{v}(f(x,z)) ( f_x \times f_z) dx}dz}[/mm]
[mm] \vec{v} [/mm] = [mm] {\vektor{x^2\\y^2\\z^2}} [/mm] und $ f(x,z) $ ist deine Flächenparametrisierung.
> Was setze ich nun für [mm]f_a[/mm] und [mm]f_c[/mm] ein?
>
>
MfG link963
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Di 11.12.2012 | | Autor: | georgi84 |
> > a b und c sollen vektoren darstellen. Und mit a=1 ist die
> > Kantenlänge gemeint. Ja es war etwas ungünstig das so zu
> > benennen.
> >
> > Ich weiß bloß nicht, wie ich das machen soll.
> >
> > z.B. die Fläche in der x,z-Ebene:
> >
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{{\vektor{x^2\\y^2\\z^2} \vert f_a \times f_c \vert dx}dz}[/mm]
>
> >
>
> Wie kommst du darauf ? Du hast ein Vektorfeld. Also muss im
> Integral mindestens ein Skalarprodukt stehen.
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{\vec{v}(f(x,z)) ( f_x \times f_z) dx}dz}[/mm]
>
> [mm]\vec{v}[/mm] = [mm]{\vektor{x^2\\y^2\\z^2}}[/mm] und [mm]f(x,z)[/mm] ist deine
> Flächenparametrisierung.
>
Hm also ich bin mir da wirklich unsicher. Also habe ich im allgemeinen:
$ [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{{\vektor{x^2\\y^2\\z^2} * \vektor{a\\b\\c} \vert f_a \times f_c \vert dx}dz} [/mm] $
Und a b und c geben jeweils die Kantenlänge an oder wie?
In der x,z-Ebene ist a = 1, b=0 und c=1 oder?
Dann hätte ich:
$ [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{{\vektor{x^2\\y^2\\z^2} * \vektor{1\\0\\1} \vert f_a \times f_c \vert dx}dz} [/mm] $
[mm] $f_a \times f_c=\vektor{0\\-1\\0}$
[/mm]
das ergibt dann:
$ [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{{\vektor{x^2\\y^2\\z^2} * \vektor{1\\0\\1} * 1 \ dx}dz} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Di 11.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du integrierst über [mm] \vec{F}*d\vec{A}
[/mm]
dabei ist [mm] d\vec{A} [/mm] der nach außen weisende FlächenVektor mit dem Betrag dxdy in Parallelen zur xy-Ebene und dessen richtung senkrecht auf der ebene also hier für die untere Fläache in -z Richtung, für die obere in +z Richtung., entsprechend für die Seiten parallel zur zx und zy Ebene, kannst du in der Zeichnung ablesen!
[mm] \vec{F}*d\vec{A}=\vektor{x^2 \\ y^2\\ z^2}*\vektor{0 \\ 0\\ -1}dxdy [/mm] für die untere Seite des Würfels
Dabei nehm ich an, dass dein a,b,c die Einheitsvektoren [mm] e_y,e_y,e_z [/mm] sind. warum schreibst du die als a,b,c?
die anderen Seiten solltest du entsprechend hinkriegen.
du hast in der yz Ebene richtig
$ [mm] f_a \times f_c=\vektor{0\\-1\\0} [/mm] $ warum schreibst du dann im Integral [mm] \vektor{1\\ 0\\ 1} [/mm] ? damit ist das Integral falsch!
schon falsch ist
$ [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{{\vektor{x^2\\y^2\\z^2} \cdot{} \vektor{a\\b\\c} \vert f_a \times f_c \vert dx}dz} [/mm] $
was soll denn [mm] \vektor{a\\b\\c} [/mm] sein, wenn a,b,c Vektoren sind?
vielleicht sagst du mal wirklich was dazu, was deine a,b,c bedeuten.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Di 11.12.2012 | | Autor: | georgi84 |
> Hallo
> du integrierst über [mm]\vec{F}*d\vec{A}[/mm]
> dabei ist [mm]d\vec{A}[/mm] der nach außen weisende FlächenVektor
> mit dem Betrag dxdy in Parallelen zur xy-Ebene und dessen
> richtung senkrecht auf der ebene also hier für die untere
> Fläache in -z Richtung, für die obere in +z Richtung.,
> entsprechend für die Seiten parallel zur zx und zy Ebene,
> kannst du in der Zeichnung ablesen!
> [mm]\vec{F}*d\vec{A}=\vektor{x^2 \\ y^2\\ z^2}*\vektor{0 \\ 0\\ -1}dxdy[/mm]
> für die untere Seite des Würfels
> Dabei nehm ich an, dass dein a,b,c die Einheitsvektoren
> [mm]e_y,e_y,e_z[/mm] sind. warum schreibst du die als a,b,c?
> die anderen Seiten solltest du entsprechend hinkriegen.
> du hast in der yz Ebene richtig
> [mm]f_a \times f_c=\vektor{0\\-1\\0}[/mm] warum schreibst du dann im
> Integral [mm]\vektor{1\\ 0\\ 1}[/mm] ? damit ist das Integral
> falsch!
> schon falsch ist
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{{\vektor{x^2\\y^2\\z^2} \cdot{} \vektor{a\\b\\c} \vert f_a \times f_c \vert dx}dz}[/mm]
>
> was soll denn [mm]\vektor{a\\b\\c}[/mm] sein, wenn a,b,c Vektoren
> sind?
> vielleicht sagst du mal wirklich was dazu, was deine a,b,c
> bedeuten.
> Gruss leduart
>
>
ok danke.
Meine Frage ist allerding wie ich das nun berechne.
Ich habe jetzt
$ [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{{\vektor{x^2\\y^2\\z^2} * \vektor{0\\-1\\0} dx}dz} [/mm] $
$ [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{{\vektor{0\\-y^2\\0} dx}dz} [/mm] $
Nach x integriert mit 1 als obere Grenze ergibt das doch nun wieder
$ [mm] \integral_{0}^{1}{\vektor{0\\-y^2\\0} dz} [/mm] $
Ich verstehe das leider nicht wirklich mit der integration.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Di 11.12.2012 | | Autor: | chrisno |
Berechne vor dem Integireren erst einmal das Skalarprodukt. Also:
$ [mm] \vektor{x^2\\y^2\\z^2} \cdot{} \vektor{0\\-1\\0} [/mm] = $
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Di 11.12.2012 | | Autor: | georgi84 |
> Berechne vor dem Integireren erst einmal das Skalarprodukt.
> Also:
> [mm]\vektor{x^2\\y^2\\z^2} \cdot{} \vektor{0\\-1\\0} =[/mm]
Das ergibt [mm] $-y^2$
[/mm]
nach x integriert ist das dann:
[mm] $-xy^2$ [/mm] Da es von 0-1 geht, ist es also wieder
[mm] $-y^2$
[/mm]
Nach z integriert mit den Grenzen 0 und 1:
Ergibt wieder [mm] $-y^2$
[/mm]
Ist das also die Lösung der Oberfläche?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Di 11.12.2012 | | Autor: | chrisno |
> Ergibt wieder [mm]-y^2[/mm]
> Ist das also die Lösung der Oberfläche?
Nein, es ist nicht die Lösing der Oberfläche, was soll das sein?
Du hast nun für eine Fläche des Würfels das Integral berechnet.
Allerdings hat y auf dieser Fläche einen bestimmten Wert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Di 11.12.2012 | | Autor: | georgi84 |
Wenn die Fläche auf der x,y-ebene ist und eine Ecke an dem Koordinatenursprung ist, dann ist y doch 0 oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Di 11.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Kontrilliere deine posts auf topfehler! du warst in der x-z Ebene nicht in x-y Ebene deshalb ist wirklich y=0
jetzt noch die 5 weiteren Flächen!
Gruss leduart
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 13:07 Di 11.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
in dem Integral steht doch ein Skalarprodukt aus Vektorfeld * Flächennormale?
es war also richtig.
Gruss leduart
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:36 Di 11.12.2012 | | Autor: | link963 |
Ich ging davon aus, dass mit [mm] \vert f_a \times f_c \vert [/mm] die euklidische Norm der Flächennormale gemeint ist?
Grüße
link963
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