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| Aufgabe | Seien $f: [mm] \IR^3 \rightarrow \IR, [/mm] f(x,y,z)= [mm] 1/(1+x^2+y^2+z^2)$ [/mm] und
[mm] $B=\left\{ (x,y,z)\in \IR^3 \left| x^2+y^2+z^2 \le 1 \right\}$ gegeben.
Berechnen Sie das Integral $\integral_{}^{} \integral_{B}^{} \integral_{}^{} f(x,y,z)\, dxdydz$ unter Verwendung von Kugelkoordinaten.
Hallo,
Kugelkoordinaten sind ja $x= rcos\varphi sin\phi$
$y=rsin\varphi sin \phi$
$z=rcos\phi$
Ich weiß nicht, wie ich die Integrationsgrenzen bestimme.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
[/mm]
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Hallo Student89,
> Seien f: [mm]R^3 \rightarrow[/mm] R, f(x,y,z)= [mm]1/(1+x^2+y^2+z^2)[/mm] und
> [mm]B=\left\{ (x,y,z)\in R^3 \left| x^2+y^2+z^2 \le 1 \right\} gegeben.
Berechnen Sie das Integral \integral_{}^{} \integral_{B}^{} \integral_{}^{} f(x,y,z)\, dxdydz unter Verwendung von Kugelkoordinaten.
Hallo,
Kugelkoordinaten sind ja x= rcos\varphi sin\phi
y=rsin\varphi sin \phi
z=rcos\phi
Ich weiß nicht, wie ich die Integrationsgrenzen bestimme.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß[/mm]
Setze die Parametertransformation in
[mm]x^2+y^2+z^2 \le 1[/mm]
ein, dann erhältst Du die Grenzen für r.
Gruss
MathePower
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Hallo,
für r habe ich dann r [mm] \le \wurzel{1}.
[/mm]
Gruß
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Hallo Student89,
> Hallo,
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> für r habe ich dann r [mm]\le \wurzel{1}.[/mm]
>
Oder einfacher: [mm]r \le 1[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gruß
Gruss
MathePower
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Hallo,
die Parametertransformation in die Funktion eingesetzt habe ich:
[mm] \integral_{}^{} \integral_{}^{} \integral_{-1}^{1} (1/(1+r^2))*(-r^2sin\Phi\, drd\varphi d\Phi
[/mm]
[mm] r^2sin\Phi [/mm] ist gleich det Funktionalmatrix.
So jetzt brauche ich nur noch die Grenzen von [mm] \varphi [/mm] und [mm] \Phi
[/mm]
Gruß
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Hallo Student89,
> Hallo,
>
> die Parametertransformation in die Funktion eingesetzt habe
> ich:
>
> [mm]\integral_{}^{} \integral_{}^{} \integral_{-1}^{1} (1/(1+r^2))*(-r^2sin\Phi\, drd\varphi d\Phi[/mm]
>
> [mm]r^2sin\Phi[/mm] ist gleich det Funktionalmatrix.
>
> So jetzt brauche ich nur noch die Grenzen von [mm]\varphi[/mm] und
> [mm]\Phi[/mm]
Die z-Achse darf nur einmal durchlaufen werden,
dies ergibt die Grenzen für [mm]\Phi[/mm]
[mm]\varphi[/mm] durchläuft ein Vollkreis.
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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