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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Do 10.02.2011 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Gegeben sei die Kurve [mm] y^2= x^2-x^4
[/mm]
(a) Skizzieren Sie die Kurve im Intervall [2, 2]. Gehen Sie dabei wie folgt vor:
• Berechnen Sie die Nullstellen und Extrema im ersten Quadranten.
• Skizzieren Sie den Verlauf im ersten Quadranten.
• Überlegen Sie sich, wie der Verlauf in den anderen Quadranten sein könnte.
(b) Bestimmen Sie die Fläche, die von dieser Kurve umschlossen wird. |
Hallo Matheraum!!!
Also mit der Aufgabe bin ich fast durch.
Ich habe die Funktion umgeschrieben in [mm] y=\wurzel{x^2-x^4}
[/mm]
Die Nullstellen habe ich soweit berechnet: [mm] x_1=1, x_2=0, x_3=-1
[/mm]
Die Extrema habe ich auch: [mm] x_1=\wurzel{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] x_2=-\wurzel{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Skizziert habe ich die Funktion auch und kam drauf die symmetrisch bei x=0 ist.
Jetzt bin ich bei (b) bei der Flächenberechnung gelandet. Da muss ich ja folgendes ausrechnen:
[mm] 2*\integral_{0}^{1}{\wurzel{x^2-x^4} dx} [/mm] ( Aufgrund der Symmetrie mit 2 multiplieziert )
Mein Problem ist ich kann es nicht integrieren.
Habe es schon mit folgender Substitution versucht: [mm] u=x^2-x^4 [/mm] und komme auf [mm] 2*\integral_{0}^{1}{\bruch{\wurzel{u}}{2x-4x^3} du}
[/mm]
Das bringt mich so gar nicht weiter xD
Vielen Dank im Voraus,
MfG
Ilya
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Huhu,
Bedenke: [mm] $\sqrt{x^2 - x^4} [/mm] = [mm] \sqrt{x^2(1-x^2)} [/mm] = [mm] x*\sqrt{1-x^2}$
[/mm]
Substituiere nun $z = [mm] 1-x^2$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Do 10.02.2011 | | Autor: | Random |
Wie konnte ich das bloss übersehen :/
Zu einfach um wahr zu sein xD
Danke sehr!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Do 10.02.2011 | | Autor: | Random |
Hey ich habe es nachgerechnet und wollte wissen was ich falsch mache ^^
Also wenn [mm] u=1-x^2 [/mm] dann ist du = -2x dx und dx =-1/2x du
So dann habe ich [mm] -\integral{u^{1/2}} [/mm] und somit [mm] 2/3u^{3/2}
[/mm]
Durch Rücksubstitution habe ich [mm] -2/3\wurzel{1-1^2}^{3/2}+2/3\wurzel{1-0^2}^{3/2}=2/3
[/mm]
Kann das so stimmen?
Vielen dank,
Ilya
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Hallo Random,
> Hey ich habe es nachgerechnet und wollte wissen was ich
> falsch mache ^^
>
> Also wenn [mm]u=1-x^2[/mm] dann ist du = -2x dx und dx =-1/2x du
>
> So dann habe ich [mm]-\integral{u^{1/2}}[/mm] und somit [mm]2/3u^{3/2}[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm]-\blue{\bruch{1}{2}}\integral{u^{1/2} \ du}[/mm]
>
> Durch Rücksubstitution habe ich
> [mm]-2/3\wurzel{1-1^2}^{3/2}+2/3\wurzel{1-0^2}^{3/2}=2/3[/mm]
>
> Kann das so stimmen?
>
> Vielen dank,
>
> Ilya
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Do 10.02.2011 | | Autor: | Random |
Hey =) ich glaube ich hätte dazuschreiben müssen dass ich das -1/2 schon mit der 2 die wegen der Symmetrie an der y achse entsteht verrechnet habe also [mm] -1/2*2\integral{...}=-\integral{...}
[/mm]
Stimmt doch so oder ?
mfG
Ilya
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Hallo Random,
> Hey =) ich glaube ich hätte dazuschreiben müssen dass ich
> das -1/2 schon mit der 2 die wegen der Symmetrie an der y
> achse entsteht verrechnet habe also
> [mm]-1/2*2\integral{...}=-\integral{...}[/mm]
>
> Stimmt doch so oder ?
Ja, dann stimmt's.
>
> mfG
>
> Ilya
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Do 10.02.2011 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sei die Kurve [mm]y^2= x^2-x^4[/mm]
> (a) Skizzieren Sie die
> Kurve im Intervall [2, 2]. Gehen Sie dabei wie folgt
> vor:
> • Berechnen Sie die Nullstellen und Extrema im ersten
> Quadranten.
> • Skizzieren Sie den Verlauf im ersten Quadranten.
> • Überlegen Sie sich, wie der Verlauf in den anderen
> Quadranten sein könnte.
> (b) Bestimmen Sie die Fläche, die von dieser Kurve
> umschlossen wird.
> Hallo Matheraum!!!
>
> Also mit der Aufgabe bin ich fast durch.
>
> Ich habe die Funktion umgeschrieben in [mm]y=\wurzel{x^2-x^4}[/mm]
Welche Funktion? Bei einer Funktion wäre jedem Element des Definitionsbereichs GENAU EIN Element des Wertebereichs zugeordnet.
Du hast eine KURVE. Diese lässt sich allerdings hier in zwei Funktionsgraphen aufspalten:
[mm]y=f_1(x)=\wurzel{x^2-x^4}[/mm] und [mm]y=f_2(x)=-\wurzel{x^2-x^4}[/mm]
Gruß Abakus
>
> Die Nullstellen habe ich soweit berechnet: [mm]x_1=1, x_2=0, x_3=-1[/mm]
>
> Die Extrema habe ich auch: [mm]x_1=\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]
> [mm]x_2=-\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Skizziert habe ich die Funktion auch und kam drauf die
> symmetrisch bei x=0 ist.
>
> Jetzt bin ich bei (b) bei der Flächenberechnung gelandet.
> Da muss ich ja folgendes ausrechnen:
>
> [mm]2*\integral_{0}^{1}{\wurzel{x^2-x^4} dx}[/mm] ( Aufgrund der
> Symmetrie mit 2 multiplieziert )
>
> Mein Problem ist ich kann es nicht integrieren.
>
> Habe es schon mit folgender Substitution versucht:
> [mm]u=x^2-x^4[/mm] und komme auf
> [mm]2*\integral_{0}^{1}{\bruch{\wurzel{u}}{2x-4x^3} du}[/mm]
>
> Das bringt mich so gar nicht weiter xD
>
> Vielen Dank im Voraus,
>
> MfG
>
> Ilya
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Do 10.02.2011 | | Autor: | Random |
Hi!
Heisst es für mich jetzt dass die Fläche und Extremstellen auch im negativen Bereich ermittelt werden sollen.
Also für die Extrema heisst es ja nur dass für x=wurzel 1/2 zwei Werte bei y exestieren. Für die Fläche heisst es ja, dass sie doppelt ist also oberhalb der x achse und unterhalb...
Sollte ich das der Vollständigkeitshalber reinschreiben und in die Skizze reinzeichnen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Do 10.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Anweisung heisst doch im 1. quadranten und dann die Symmetrie, die du ja gesehen hast ausnutzen. (die solltest du in einem Satz begründen. Also nur die NSt 0, und das min bei 0 und max bei 1. auch die Verdoppelung des Integrals isz damit begründet. Dkizze allerdings insgesamt, d..h. in 1. Qu zeichnen , in den zweiten spiegeln.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Do 10.02.2011 | | Autor: | Random |
DAnke!
Aber ich meine wenn jetzt eine zweite Funktion dazu kommt [mm] -\wurzel{x^2-x^4} [/mm] dann bedeutet das ja nichts anderes, als dass die Funktion auch in den 3ten und 4ten Quadranten reinrutscht xD
Also ich meine damit eine exakte Spiegelung an der x Achse.
Das sollte ich doch lieber dazu zeichenen oder und die beiden Funktionen auf führen also [mm] f(x)=\wurzel{x^2-x^4} [/mm] und [mm] g(x)=-\wurzel{x^2-x^4}
[/mm]
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Hallo Random,
> DAnke!
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> Aber ich meine wenn jetzt eine zweite Funktion dazu kommt
> [mm]-\wurzel{x^2-x^4}[/mm] dann bedeutet das ja nichts anderes, als
> dass die Funktion auch in den 3ten und 4ten Quadranten
> reinrutscht xD
Ja, das ist richtig.
>
> Also ich meine damit eine exakte Spiegelung an der x Achse.
>
> Das sollte ich doch lieber dazu zeichenen oder und die
> beiden Funktionen auf führen also [mm]f(x)=\wurzel{x^2-x^4}[/mm]
> und [mm]g(x)=-\wurzel{x^2-x^4}[/mm]
Gruss
MathePower
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