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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral mittels Partialbruchzerlegung:
[mm] \integral{\bruch{x^4-x^3-x-1}{x^3+x^2}dx} [/mm] |
Guten Tag Matheraum!
Heut nerv ich mal wieder xD.
Also ich habe mich schlau gemacht und weiss, dass GradNenner>GradZähler sein muss.
Also habe ich eine Polynomdivision durchgeführt und kam zu dem Ergebnis:
[mm] \integral{\bruch{x^4-x^3-x-1}{x^3+x^2}dx}=\integral{(x-2)+\bruch{2x^2-x-1}{x^3+x^2}dx}
[/mm]
Ab hier weiss ich, dass jetzt irgendwas mit Nullstellen kommt. Aber ich verstehe an sich den nächsten Schritt nicht. Nach was Suche ich ?
Bin dankbar für einen Tipp.
Mit freundlichen Grüßen,
Ilya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Mo 31.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie das Integral mittels Partialbruchzerlegung:
>
> [mm]\integral{\bruch{x^4-x^3-x-1}{x^3+x^2}dx}[/mm]
> Guten Tag Matheraum!
>
> Heut nerv ich mal wieder xD.
>
> Also ich habe mich schlau gemacht und weiss, dass
> GradNenner>GradZähler sein muss.
>
> Also habe ich eine Polynomdivision durchgeführt und kam zu
> dem Ergebnis:
>
> [mm]\integral{\bruch{x^4-x^3-x-1}{x^3+x^2}dx}=\integral{(x-2)+\bruch{2x^2-x-1}{x^3+x^2}dx}[/mm]
>
> Ab hier weiss ich, dass jetzt irgendwas mit Nullstellen
> kommt. Aber ich verstehe an sich den nächsten Schritt
> nicht. Nach was Suche ich ?
Für [mm] \bruch{2x^2-x-1}{x^3+x^2} [/mm] führe Partialbruchzerlegung durch. Es ist [mm] x^3+x^2=x^2(x+1).
[/mm]
D.h. mache den Ansatz:
[mm] \bruch{2x^2-x-1}{x^3+x^2}= \bruch{A}{x}+ \bruch{B}{x^2}+ \bruch{C}{x+1}
[/mm]
und bestimme A,B und C
FRED
>
> Bin dankbar für einen Tipp.
>
> Mit freundlichen Grüßen,
>
> Ilya
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Random |
Vielen Dank Fred!!!
Also das war eine Partialbruchzerlegung...
Ich verstehe den Teil hier [mm] x^3+x^2= x^2(x+1) [/mm] und dann den Teil hier:
[mm] \bruch{B}{x^2}+\bruch{C}{x+1} [/mm] aber wo kommt nochmal das eine [mm] \bruch{A}{x}
[/mm]
Und was sind das für Großbuchstaben?
Wie kann ich Sie besimmen?
Sind es Nullstellen und eine hab ich bereits mit (x-2) = 2 = A ?
MfG
Ilya
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Hallo Ilya,
> Vielen Dank Fred!!!
>
> Also das war eine Partialbruchzerlegung...
>
> Ich verstehe den Teil hier [mm]x^3+x^2= x^2(x+1)[/mm] und dann den
> Teil hier:
>
> [mm]\bruch{B}{x^2}+\bruch{C}{x+1}[/mm] aber wo kommt nochmal das
> eine [mm]\bruch{A}{x}[/mm]
Weil $x$ doppelte (reelle) Nullstelle ist.
Schaue dir mal auf Wikipedia die verschiedenen PBZ-Ansätze an!
>
> Und was sind das für Großbuchstaben?
Das sind Konstante
> Wie kann ich Sie besimmen?
> Sind es Nullstellen und eine hab ich bereits mit (x-2) = 2
> = A ?
Du hast [mm] $\frac{2x^2-x-1}{x^2(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x+1}$
[/mm]
Mache rechterhand gleichnamig, bringe alles auf den Hauptnenner [mm] $x^2(x+1)$ [/mm] und sortiere im Zähler nach Potenzen von $x$
Dann mache mit dem Zähler linkerhand einen Koeffizientenvergleich bzgl. der verschiedenen Potenzen von $x$
>
> MfG
>
> Ilya
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Random |
Hallo und danke für den Tipp.
Also ich habe das auf den gleichen Nenner gebracht und habe folgendes raus:
[mm] \bruch{Cx^2+A*x(x+1)+B(x+1)}{x^2(x+1)}
[/mm]
Ich weiss jetzt nicht was ich machen kann...
Also linkerhand soll ich einen Vergleich machen, aber was ist damit gemeint?
MfG
Ilya
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Hallo nochmal,
> Hallo und danke für den Tipp.
>
> Also ich habe das auf den gleichen Nenner gebracht und habe
> folgendes raus:
>
> [mm]\bruch{Cx^2+A*x(x+1)+B(x+1)}{x^2(x+1)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich weiss jetzt nicht was ich machen kann...
>
> Also linkerhand soll ich einen Vergleich machen, aber was
> ist damit gemeint?
Ich hatte doch gesagt, im Zähler nach Potenzen von x sortieren.
Nun, multipliziere aus und sortiere, dann hast du [mm]\frac{\red{(A+C)}x^2+\blue{(A+B)}x+\green{B}}{x^2(x+1)}[/mm]
Linkerhand steht [mm]\frac{\red{2}x^2+\blue{(-1)}x+\green{(-1)}}{x^2(x+1)}[/mm]
Also
(1) [mm]\red{A+C=2}[/mm]
usw.
>
> MfG
>
> Ilya
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Random |
Aso schuzipus danke.
Ich hatte es nicht ganz verstanden sorry.
Also:
2=A+C
-1=A+B
-1=B
Mit B=-1 ist A=0 und mit A= 0 ist C=2 somit:
A=0, B=-1, C=2
Damit habe ich rechterhand: [mm] \bruch{-1}{x^2}+\bruch{2x^2}{x^3+x^2}
[/mm]
Und somit: [mm] \integral{(x-2)+\bruch{-1}{x^2}+\bruch{2x^2}{x^3+x^2}}
[/mm]
Damit ist wohl die Partialbruchzerlegung gemacht und ich kann die Brüche einzeln integrieren oder?
Danke schachuzipus!
MfG Ilya
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> Aso schuzipus danke.
>
> Ich hatte es nicht ganz verstanden sorry.
>
> Also:
>
> 2=A+C
> -1=A+B
> -1=B
>
> Mit B=-1 ist A=0 und mit A= 0 ist C=2 somit:
>
glaube dir das mal, habe ich jetzt nicht auch überprüft, kannst ja die Probe machen, indem du es wieder zusammenziehst ;)
> A=0, B=-1, C=2
>
> Damit habe ich rechterhand:
> [mm]\bruch{-1}{x^2}+\bruch{2x^2}{x^3+x^2}[/mm]
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") wie das?
Der Ansatz von fred lautete:
$ [mm] \bruch{2x^2-x-1}{x^3+x^2}= \bruch{A}{x}+ \bruch{B}{x^2}+ \bruch{C}{x+1} [/mm] $
Mit B=-1 und C=2 kommst du zwar auf [mm] \bruch{-1}{x^2} [/mm] aber dann doch auf [mm] \bruch{2}{x1} [/mm] oder etwa nicht?
> Und somit:
> [mm]\integral{(x-2)+\bruch{-1}{x^2}+\bruch{2x^2}{x^3+x^2}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Damit ist wohl die Partialbruchzerlegung gemacht und ich
> kann die Brüche einzeln integrieren oder?
>
In der Tat, wenn denn das Integral richtig wäre:
$\integral{(x-2)-\integral{\bruch{1}{x^2}}+\integral{\bruch{2}{x+1}$
> Danke schachuzipus!
>
> MfG Ilya
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Random |
Vielen Dank für eure Hilfe.
Ich merk grad, dass ich die Aufagbe vollkommen falsch abgetippt habe...
Man sowas passiert mir immerweider =(.
Die richtige Aufgabe lautet [mm] \integral{\bruch{x^4-x^3-x^-1}{x^3-x^2}}
[/mm]
Ich habe versucht diese Aufgabe nach dem selben Schema zu lösen, doch habe ich nach der Polynomdivision wieder ein Problem:
Polynomdivision ergibt: [mm] \integral{x-\bruch{(x+1)}{x^3-x^2}}
[/mm]
Der [mm] Bruch\bruch{(x+1)}{x^3-x^2} [/mm] lässt sich auch schreiben als [mm] \bruch{(x+1)}{x^2(x-1)}
[/mm]
Nun habe ich wieder ein Problem beim Aufteilen...
Ich habe es mir auch durchgelesen und es hat was mit Nullstellen zutun.
Ich würde also folgende Aufteilung vorschlagen:
[mm] \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^2}+\bruch{C}{(x-1)}
[/mm]
Ich glaube irgendwas ist falsch, weil wenn ich, wenn ich dann die Konstanten nach dem Ausmultipliezieren errechnen soll ja nur ein x also eine 1 und eine -1 habe aber drei Konstanten...
Vielen Dank im Voraus und mit freundlichen Grüßen,
Ilya
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Erstmal muss ich das in ne lesbare Form überführen (bitte in Zukunft mit dem so unendlich wertvollen Button "Vorschau" selbst prüfen, ob sich in den Formeln ein Fehler eingeschlichen hat!)
Öhm...hast dus schon editiert? Jetzt stimmt alles, wenn ich auf Zitieren klicke, wo eben noch nix lesbar war, na seis drum, dann gehts direkt los ^^
> Vielen Dank für eure Hilfe.
>
> Ich merk grad, dass ich die Aufagbe vollkommen falsch
> abgetippt habe...
>
> Man sowas passiert mir immerweider =(.
>
> Die richtige Aufgabe lautet
> [mm]\integral{\bruch{x^4-x^3-x-1}{x^3-x^2}}[/mm]
>
hoffe das sollte x-1 heißen, habe es mal so abgeändert ^^
> Ich habe versucht diese Aufgabe nach dem selben Schema zu
> lösen, doch habe ich nach der Polynomdivision wieder ein
> Problem:
>
> Polynomdivision ergibt:
> [mm]\integral{x-\bruch{(x+1)}{x^3-x^2}}[/mm]
>
> Der [mm]Bruch\bruch{(x+1)}{x^3-x^2}[/mm] lässt sich auch schreiben
> als [mm]\bruch{(x+1)}{x^2(x-1)}[/mm]
>
> Nun habe ich wieder ein Problem beim Aufteilen...
>
> Ich habe es mir auch durchgelesen und es hat was mit
> Nullstellen zutun.
>
> Ich würde also folgende Aufteilung vorschlagen:
>
> [mm]\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^2}+\bruch{C}{(x-1)}[/mm]
>
> Ich glaube irgendwas ist falsch, weil wenn ich, wenn ich
> dann die Konstanten nach dem Ausmultipliezieren errechnen
> soll ja nur ein x also eine 1 und eine -1 habe aber drei
> Konstanten...
in der Tat ist die Lösung B=-1 und C=2.
Rest der Antwort war falsch, schreibe in der nächsten weiter, sorry
>
> Vielen Dank im Voraus und mit freundlichen Grüßen,
>
> Ilya
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Random |
ein moment das verstehe ich nicht....
ich habe doch den Bruch [mm] \bruch{-(x+1)}{x^2(x-1)} [/mm] und das ist doch meines Wissens nach nicht das Selbe wie [mm] \bruch{x-1}{x^2(x-1)}oder [/mm] ?
Dann kan man das nicht kürzen oder ?
MfG
Ilya
PS: Sorry hab es sofort danach editiert =)
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> ein moment das verstehe ich nicht....
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> ich habe doch den Bruch [mm]\bruch{-(x+1)}{x^2(x-1)}[/mm] und das
> ist doch meines Wissens nach nicht das Selbe wie
> [mm]\bruch{x-1}{x^2(x-1)}oder[/mm] ?
>
> Dann kan man das nicht kürzen oder ?
>
> MfG
>
> Ilya
>
> PS: Sorry hab es sofort danach editiert =)
Was ist denn da passiert, ich war wohl etwas zu schnell...ich editiere die Antwort oben, ja du hast recht, ich habe (x-1) gemacht statt das Minus ordentlich davorzuziehen und ein (x+1) entstehen zu lassen ;) gut aufgepasst, danke!
Damit hast du die Lösungen B=-1 und C=2
allerdings hänge ich auch gerade, moment
So da uns eine Lösung quasi fehlt und die Probe noch nicht aufgeht, muss man einfach einen beliebigen Wert einsetzten. Ich setze normalerweise ja die NST ein, aber in diesem Fall haben wir nur 2, da die 0 eine Doppel-NST ist.
Ich habe einfach mal x=-1 gesetzt und erhalte zusätzlich A=-2
Damit haben wir dann
[mm] $\bruch{x+1}{x^2*(x-1)}=\bruch{-2}{x}-\bruch{1}{x^2}+\bruch{2}{(x-1)}$
[/mm]
sorry für die Umstände
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Random |
Vielen Dank für deine Mühe Adamantin.
A hast du wohl durch Einsetzen bestimmt =).
Also wenn ich das so machen wie in der andern Aufgabe dann habe ich:
B=-1
und A-B=-1 also A+1=-1 und somit A=-2
Dann ergibt sich hieraus da A+C=0 => -2+C=0 C=2
Also irgendwie musste ich nichts Einsetzen... Meinst du, dass das richtig sein kann oder hab ich da was falsch gemacht, weil du hast das durch Einsetzen bestimmt.
MfG
Ilya
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> Vielen Dank für deine Mühe Adamantin.
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> A hast du wohl durch Einsetzen bestimmt =).
>
> Also wenn ich das so machen wie in der andern Aufgabe dann
> habe ich:
>
> B=-1
>
> und A-B=-1 also A+1=-1 und somit A=-2
>
> Dann ergibt sich hieraus da A+C=0 => -2+C=0 C=2
>
> Also irgendwie musste ich nichts Einsetzen... Meinst du,
> dass das richtig sein kann oder hab ich da was falsch
> gemacht, weil du hast das durch Einsetzen bestimmt.
>
> MfG
>
> Ilya
Lustige Frage, wenn du auf das richtige Ergebnis kommst, oder? Ich meinte, du seist eben nicht mit deiner Methode weitergekommen, aber habe ruhig das nötige Selbstvertrauen. Wenn dir deine Partialbruchzerlegung durch eine Probe am Schluss den Ausgangsterm liefert, dann hast du alles richtig gemacht, unabhängig der Methode.
Ja ich weiß, ich mag den Koeffizientenvergleich nicht, der dir hier vorgeschlagen wurde, obwohl es im Grunde die selbe Methode ist. Ich multipliziere mit dem Nenner der linken Seite des Gleichheitszeichen, so dass ich niergends mehr Brüche habe. Dafür muss ich dann eben mehrere Fälle unterscheiden und Zahlen einsetzten. Macht man es so, wie der Vorredner vor mir vorgeschlagen hat, bleiben Brüche erhalteun und man kann wohl durch Koeffizientenvergleich die Lösung ebenfalls erschließen. In diesem Fall kam ich damit aber weniger gut zurecht, wie mit meiner Methode.
Falsch machst du grundsätzlich überhaupt nichts, und wenn du per pedes von Pontius zu Pilates läufst ;) In der Mathematik geht es ja nie "nur" um die Methode, sondern fast immer leider "nur" um das Ergebnis. NImm wie immer die Methode, die dir am besten dünkt und am händischsten ist. Nur mache am Ende die Probe! ^^ Ich kann dir nämlich gar nicht sagen, wie du auf deine Ergebnisse mittels Koeffizientenvergleich gekommen bist, also schnell nochmal nachlesen...
Ah man muss dazu ausmultiplizieren, ja eine sehr schicke Methode ;)
Im Grunde ist es aber, wie gesagt, die selbe Vorgehensweise. Ich erspare mit das ausmultiplizieren und anordnen, indem ich direkt die Werte für x einsetzte, von denen ich weiß, dass es NST sind. Damit komme ich z.B. bei 0 sofort auf den Wert 1=-B. Usw.
Deine Variante geht über ein LGS, dass du dann lösen musst. Dafür hast du den VOrteil, alle relevanten Gleichungen direkt vor dir zu haben, während ich, wenn ich Pech habe, mir eine weitere Lösung einsetzten muss, die schwieriger zu rechnen sein kann (vor allem bei komplexen Fällen/Zahlen)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Random |
Aso du hast eine andere Vorgehensweise gehabt xD...
Ich wusste gar nicht, dass es eine andere gibt und bin deshalb davon ausgegangen, dass du die selbe Methode verwendest.
Deswegen meine "blöde" Frage...
Vielen Dank für deine Zeit und vorallem deine Hilfe!
PS: Ich versuche es mal mit deiner Vorgehensweise ^^
MfG
Ilya
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Adamantin |
Ah entschuldige die Verwirrung ;)
Falls noch Unklarheiten sein sollten, hier das Beispiel:
[mm] $\bruch{x+1}{x^2*(x-1)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^2}+\bruch{C}{(x-1)}$
[/mm]
[mm] $x+1=Ax*(x-1)+B(x-1)+Cx^2$
[/mm]
1. Fall x=0 => 1=-B => B=-1
2. Fall x=1 => 2=C => C=2
Der Clou ist eben hier, dass du aufgrund fehlender Vergleichskoeffizienten im Prinzip jede beliebige Zahl einsetzten kannst. Durch die schon bekannten NST spart man sich aber natürlich sehr viel Zeit, da dadurch eben automatisch Teilterme wegfallen (da sie ja 0 werden). Nur für die dritte Gleichung muss ich jetzt eine Zahl frei wählen:
3. Fall x=-1 => 0=2A+2+2 => A=-2
Hier schon B,C eingesetzt.
Gute Nacht ;)
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