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Hi,
$ [mm] \integral_{}^{} {\bruch{e^{2x}}{e^x-1} dx}$
[/mm]
=>Substitution
[mm] $u=e^x-1 \Rightarrow \bruch{du}{dx}=e^x\Rightarrow dx=\bruch{du}{e^x}\Rightarrow \bruch{du}{u+1}$
[/mm]
$ [mm] \integral_{}^{} {\bruch{e^{2x}}{e^x-1} dx}=\integral_{}^{} {\bruch{e^x*e^x}{e^x-1} dx}=\integral_{}^{} {\bruch{(u+1)*(u+1)}{u} *\bruch{du}{u+1}}$
[/mm]
[mm] $=\integral_{}^{} {(u+1)^2* \bruch{1}{u}* \bruch{du}{u+1}}$
[/mm]
[mm] $=\integral_{}^{} [/mm] {(u+1) * [mm] \bruch{1}{u} [/mm] du}$
[mm] $=\integral_{}^{} {\bruch{u+1}{u} du}=\integral_{}^{} [/mm] {1+ [mm] \bruch{1}{u} [/mm] du}$
$=u+ln(|u|)+C$
=>Rücksubstitution
[mm] =e^x-1+ln(|e^x-1|)+C
[/mm]
Jetzt war ich zuerst leicht verwirrt warum maxima das gleiche ohne -1 als Ergebnis lieferte:
[mm] $ln(e^x-1)+e^x$
[/mm]
Nachdem ich eine Zeit lang den Fehler gesucht hatte hab ich das Ergebnis mal differenziert und mir ist dann erst aufgefallen, dass die -1 ja verschwindet. Das bewegt mich aber zu einer Frage. Kann ich also die -1 in jedem Fall weglassen, weil sie schon in dem +C enthalten ist? Wohl eher nicht. Beim wieder differenzieren der integrierten Funktion verschwindet die -1 zwar, aber beim nochmaligen Integrieren spielt die -1 eine Rolle. Also, Ergebnis von mir falsch und es passt nur zufällig beim zurück differenzieren? Vielleicht sieht jemand mein Problem und kann etwas dazu sagen.
Gruß
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Andreas!
Eigentlich meinte Max, ich müsste meine 1000ste Antwort mit einer gigantischen Erklärung abschließen, die den Matheraum sprengt. Das sei so üblich in Foren.  Aber ich mache nicht immer das, was üblich ist.
Jetzt begnüge ich mich mit einer solchen Popelsantwort (ist nicht gegen die Frage gerichtet, auf keinen Fall, sondern nur gegen die Länge der Antwort  ):
Also, man kann die $1$ ja in die Konstante ziehen...
Setze also $C':=C-1$.
Dann erhältst du
[mm] $e^x [/mm] + [mm] \ln(|e^x-1|) [/mm] + C'$.
Das liefert auch maxima (bis auf die Konstante $C'$, aber die wird nie geliefert).
Stammfunktionen sind immer nur bis auf die Addition von Konstanten eindeutig bestimmt.
Naja, immerhin ist die Antwort so nicht falsch.
Ach so, und zudem sehe ich gerade, dass du die Erklärung ja selber schon geliefert hattest. Ich hatte zuvor die letzten Zeilen nicht gelesen. Naja... was soll es... so bist du eben sicherer, dass du es verstanden hast.
Liebe Grüße
Stefan
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