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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Mi 03.12.2008 | | Autor: | JMW |
| Aufgabe | | Prüfen Sie ob das Integral existiert und bestimmen Sie gegebenenfalls den Wert: [mm] \integral_{1}^{+\infty}{\bruch{5x²+1}{x^4+x²-2} dx} [/mm] |
Hi, also ich weiß, daß ich hier mit der partialbruchzerlegung vorgehen muss.
Im Nenner gibt es nur die reelen Nullstellen: 1 und -1.
Heißt das, das die Partialbruchzerlegung so aussehen muss:
[mm] \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}=\bruch{5x²+1}{x^4+x²-2}?
[/mm]
Und das Integral existiert sobald es konvergiert und nicht gegen unendlich geht oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Genau, du musst den Nenner erstmal faktorisieren. 2 Faktoren hast du schon: (x-1) und (x+1). Aber es fehlt noch einer (zumindest, wenn wie in [mm] \IR [/mm] bleiben, was wir auch tun).
Denn (x+1)(x-1) ergibts ja nicht wieder [mm] x^4+x^2-2!
[/mm]
Also musst du [mm] x^4+x^2-2 [/mm] noch durch (x-1) und (x+1) teilen, oder eben direkt durch (x²-1) um den 3. Faktor zu erhalten. Damit kommt zu deinem Ansatz noch [mm] +\bruch{Cx+D}{\text{Ergebnis der Polynomdivision}} [/mm] hinzu!
Und ja, wenn Konvergenz vorliegt, dann existiert das Integral!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Mi 03.12.2008 | | Autor: | JMW |
Danke für deine Antwort!!
das heißt dann: [mm] \bruch{Cx+B}{x²+2} [/mm]
Also bei komplexen Zahlen wird das einfach immer so geschrieben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Teufel |
Genau, nur eben Cx+D im Zähler!
Und ja, das ist ein Standardansatz, der auch immer zieht, wenn so etwas ist!
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Mi 03.12.2008 | | Autor: | JMW |
Super, danke schön!!
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