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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Mo 24.11.2008 | | Autor: | JMW |
| Aufgabe | | Integrieren Sie f(x) = [mm] ln\wurzel[]{x+\wurzel[]{x²+1}} [/mm] |
Könnte mir Jemand hier einen Ansatz geben? Ich habe echt kein Plan wie ich hier vorgehen soll. (x²+1) substituieren hilft ja auch nicht weiter, weil dann ja dx= [mm] \bruch{1}{2x} [/mm] ergibt womit ich das x ja nicht wegbekomme...
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> Integrieren Sie f(x) = [mm]ln\wurzel[]{x+\wurzel[]{x²+1}}[/mm]
> Könnte mir Jemand hier einen Ansatz geben? Ich habe echt
> kein Plan wie ich hier vorgehen soll. (x²+1) substituieren
> hilft ja auch nicht weiter, weil dann ja dx= [mm]\bruch{1}{2x}[/mm]
> ergibt womit ich das x ja nicht wegbekomme...
Hallo,
hast Du es schonmal mit x=sinh(t) probiert? Gerechnet hab' ich nichts, aber so würde ich spontan beginnen.
Gruß v. Angela
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Hallo JMW,
Angela war einen Tick schneller  ich wollte es erst zuende rechnen ...
Schreibe vorher noch [mm] $\ln\left(\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}\right)=\ln\left(\left[x+\sqrt{x^2+1}\right]^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$
[/mm]
Setze dann mit Angelas Vorschlag an, das geht dann schön auf, schaue dir auch an, wie [mm] $\sinh(t), \cosh(t)$ [/mm] über die e-Funktion definiert sind und den Zusammenhang zwischen den beiden, wichtig ist da:
[mm] $\cosh^2(t)-\sinh^2(t)=1$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Mo 24.11.2008 | | Autor: | JMW |
Danke euch beiden, habe noch eine Frage dazu, warum kann man das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] vorziehen?
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Hallo nochmal,
Regel für den Logarithmus einer Potenz:
[mm] $\log\left(a^b\right)=b\cdot{}\log(a)$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Mo 24.11.2008 | | Autor: | JMW |
Ahh, die Regeln muss ich mir wirklich nochmal angucken.. Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mo 24.11.2008 | | Autor: | JMW |
Nur schonmal zur Kontrolle bin gerade am Rechnen (Hab sorum noch nicht substituiert. Also eigesetzt ergibt das dann:
[mm] \bruch{1}{2}ln(sinh(t)+\wurzel[]{sinh^2+1})dt [/mm] oder?
da ja dx= 1dt ist.
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Hallo nochma,
> Nur schonmal zur Kontrolle bin gerade am Rechnen (Hab sorum
> noch nicht substituiert. Also eigesetzt ergibt das dann:
>
> [mm]\bruch{1}{2}ln(sinh(t)+\wurzel[]{sinh^2+1}dt[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") oder?
Aber fast
> da ja dx= 1dt ist.
Das Gute an [mm] $\sinh(t)$ [/mm] und [mm] $\cosh(t)$ [/mm] ist, dass sie gegenseitig Ableitung und Stammfunktion sind (rechne es nach mit der Definition über die e-Funktion)
Also [mm] $x=\sinh(t)\Rightarrow \frac{dx}{dt}=\cosh(t)\Rightarrow dx=\cosh(t) [/mm] \ dt$
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Mo 24.11.2008 | | Autor: | JMW |
Ich habe jetzt mal alles eigesetz wie du gesagt hast und komme bis hierhin:
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{}^{}{ln(\bruch{1}{2}*e^{2t}) dt}
[/mm]
Ich habe im Mathebuch nach dem Verhälnis von ln zu e gesucht, (man kann das sicher vereinfachen) hab aber nichts spezifisches für den Fall gefunden. Auch Googeln hat mir nicht geholfen. Ist das richtig soweit? Und kann man das wirklich noch vereinfachen?
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Hallo nochmal,
> Ich habe jetzt mal alles eigesetz wie du gesagt hast und
> komme bis hierhin:
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{ln(\bruch{1}{2}*e^{2t}) dt}[/mm]
Wir haben doch nun nach der Substitution:
[mm] $\frac{1}{2}\int{\ln\left(\sinh(t)+\sqrt{\sinh^2(t)+1}\right) \ \cosh(t) \ dt}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}\int{\ln\left(\sinh(t)+\sqrt{\cosh^2(t)}\right) \ \cosh(t) \ dt}$
[/mm]
wegen des Zusammenhanges, den ich ganz oben erwähnt habe, du kannst es auch nachrechnen mit [mm] $\sinh(t)=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}$, $\cosh(t)=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}$ [/mm] ...
[mm] $=\frac{1}{2}\int{\ln\left(\sinh(t)+\cosh(t)\right) \ \cosh(t) \ dt}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}\int{\ln\left(\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}+\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}\right) \ \cosh(t) \ dt}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}\int{\ln\left(\frac{2e^{t}}{2}\right) \ \cosh(t) \ dt}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}\int{\ln\left(e^{t}\right) \ \cosh(t) \ dt}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}\int{t\cdot{}\cosh(t) \ dt}$
[/mm]
Nun mit partieller Integration weiter, denke an den Zusammenhang von Ableitung und Integral von [mm] $\sinh, \cosh$ [/mm] ...
Du wirst sehen, im Nachhinein ist es ein sehr einfaches Integral, wenn man auf die anfängliche Substitution kommt
>
> Ich habe im Mathebuch nach dem Verhälnis von ln zu e
> gesucht, (man kann das sicher vereinfachen) hab aber nichts
> spezifisches für den Fall gefunden. Auch Googeln hat mir
> nicht geholfen. Ist das richtig soweit? Und kann man das
> wirklich noch vereinfachen?
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Mo 24.11.2008 | | Autor: | JMW |
Ok danke!! ich habe das cosh(t) auch umgewandelt gehabt. Da war wohl mein Fehler. So sieht es viel einfacher aus. Danke nochmal für ausführliche Hilfe!!
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