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Hallo Zusammen,
| Aufgabe | | Bestimme die Koeffizienten $A, B, C [mm] \in \IR$ [/mm] so, daß die Formel [m]\textstyle\int_0^{2h} {f(x)\operatorname{d}\!x} = h(A\cdot{}f(0) + B\cdot{}f(h) + C\cdot{}f(2h)) + \texttt{Rest}[/m] für Polynome zweiten Grades exakt ist, und gib den höchstmöglichen Grad der Polynome an, für die die berechnete Quadraturformel exakt ist. |
"Lösungsansatz":
Wenn wir exakt ein Polynom 2ten Grades integrieren, sieht das doch so aus:
[m]\int\limits_0^{2h} {\left( {ax^2 + bx + c} \right)} dx = \left. {\left[ {\frac{{ax^3 }}
{3} + \frac{{bx^2 }}
{2} + cx} \right]_0^{2h}} = \frac{{a\left( {2h} \right)^3 }}
{3} + \frac{{b\left( {2h} \right)^2 }}
{2} + 2hc = \frac{{8ah^3 }}
{3} + \frac{{4bh^2 }}
{2} + 2hc\quad(\*)[/m]
Jetzt setzten wir gleich:
[m]\begin{gathered}
(\*) = h\left( {Ac + B\left( {ah^2 + bh + c} \right) + C\left( {4ah^2 + 2bh + c} \right)} \right) + \texttt{Rest}= h\left( {Ac + Bah^2 + Bbh + Bc + 4Cah^2 + 2Cbh + Cc} \right) + \texttt{Rest} \hfill \\
= hAc + h^3 Ba + Bbh^2 + Bch + 4Cah^3 + 2Cbh^2 + Cch + \texttt{Rest} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Und was jetzt?
Danke!
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Di 22.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi Karl
es genügt ja (da alles schön linear ist, wenn die monome $1, x$ und [mm] $x^2$ [/mm] (basis des vektorraums der polynome vom grad kleiner gleich $2$) exakt integriert werden (und das ist auch eine notwendigebedingung für die exaktheit der quadraturfomel).
also kannst du ansetzen:
[m] \int_0^{2h} 1 \, \textrm{d}x = 2h \stackrel{!}{=} h(A\cdot1 + B \cdot 1 + C \cdot 1) [/m], also
[m] (1): \qquad 2 \stackrel{!}{=} A + B+ C [/m]
[m] \int_0^{2h} x \, \textrm{d}x = 2h^2 \stackrel{!}{=} h(A \cdot 0 + B \cdot h + C \cdot 2 h) [/m], also
[m] (2): \qquad 2 \stackrel{!}{=} B + 2C [/m]
[m] \int_0^{2h} x^2 \, \textrm{d}x = \frac{8}{3}h^3 \stackrel{!}{=} h(A \cdot0 + B \cdot h^2 + C \cdot 4 \cdot h^2) [/m], also
[m] (3): \qquad \frac{8}{3} \stackrel{!}{=} B + 4C [/m]
und $(1), (2)$ und $(3)$ geben ein linearesgleichungssystem für die koeffizienten das zu lösen ist! auf das selbe gelichungssystem wärst du mit deinem ansatz auch gekommen, wenn du [mm] $\text{Rest} [/mm] = 0$ gestezt hättest (da die formel für diebetrachteten funktionen exakt sein soll) und dann nach den entsprechnenden $h$ potenzen sortiert hättest. für mich ist diese vorgehen aber klarer, das wird aber wohl geschmackssache sein.
grüße
andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Di 22.02.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Andreas,
Zunächst einmal vielen Dank für deine Hilfe!
Wir haben also die Formel: [m]\textstyle\int_0^{2h}{f(x)\operatorname{d}\!x} = h(A\cdot{}f(0) + B\cdot{}f(h) + C\cdot{}f(2h)) + \texttt{Rest}[/m].
Und weil hier nach einer exakten Quadraturformel gefragt ist, setzten wir [mm] $\texttt{Rest} [/mm] := 0$. Damit erhalten wir folgende Gleichungskette:
[m]\begin{gathered}
\int\limits_0^{2h} {f\left( x \right)}\operatorname{d}\!x = \int\limits_0^{2h} {\left( {ax^2 + bx + c} \right)}\operatorname{d}\!x = \left[ {a\frac{{x^3 }}
{3} + b\frac{{x^2 }}
{2} + cx} \right]_0^{2h} = \frac{{a\left( {2h} \right)^3 }}
{3} + b\frac{{\left( {2h} \right)^2 }}
{2} + 2ch = \hfill \\
\frac{{8ah^3 }}
{3} + \frac{{4bh^2 }}
{2} + 2ch = \frac{{8ah^3 }}
{3} + 2bh^2 + 2ch = h\left( {Ac + B\left( {ah^2 + bh + c} \right) + C\left( {a\left( {2h} \right)^2 + 2bh + c} \right)} \right) \hfill \\
= h\left( {Ac + aBh^2 + Bbh + Bc + 4aCh^2 + 2bCh + cC} \right) = hAc + ah^3 B + Bbh^2 + Bch + 4aCh^3 + 2bCh^2 + cCh \hfill \\
\Leftrightarrow hAc + h^3 aB + h^2 Bb + hBc + h^3 4aC + h^2 2bC + hcC - h^3 \frac{{8a}}
{3} - h^2 2b - h2c = 0 \hfill \\
\Leftrightarrow hAc + hBc + hcC - h2c + h^2 Bb + h^2 2bC - h^2 2b + h^3 aB + h^3 4aC - h^3 \frac{{8a}}
{3} = 0 \hfill \\
\Leftrightarrow hc\left( {A + B + C - 2} \right) + h^2 b\left( {B + 2C - 2} \right) + ah^3 \left( {B + 4C - \frac{8}
{3}} \right) = 0 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Damit erhalten wir das Gleichungssystem, das Du angegeben hast, weil dies die Klammerausdrücke unserer Koeffizienten sind. Setzt man all diese Koeffizienten auf 0, wird die Gleichung erfüllt. Daraus folgt dann:
[m]A = \frac{1}
{3} \wedge B = \frac{4}
{3} \wedge C = \frac{1}
{3}[/m].
Viele Grüße
Karl
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