Integration < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:14 Fr 24.10.2008 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | | Berechne [mm] \integral_{\IR^2} [/mm] 1 / [mm] (x^2+y^2+1)^2 [/mm] dx dy |
guten morgen zusammen,
ich hab versucht dieses integral zu lösen, was mir allerdings nicht leicht gefallen ist und ich weiss nichtmal ob meine lösung stimmen kann.
zuerst habe ich versucht polarkoordinaten anzuwenden und dann kam ich auf
[mm] \integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{R} r/(r^2+1) [/mm] dr [mm] d\phi
[/mm]
Nun hab ich eine Produktintegration durchgeführt nach r.
[mm] \integral_{0}^{2\pi} [/mm] 0,5 r ( [mm] \bruch{r}{r^2+1}+tan^-1(r)) [/mm] - 0,5r*tan^-1(r) [mm] d\phi
[/mm]
vereinfachen und die grenzen von R einsetzen hat mir dann folgendes geliefert:
[mm] \integral_{0}^{2\pi} 0,5R*(\bruch{R}{R^2+1}) d\phi
[/mm]
nun nach phi integriert und eingesetzt was mir dann am ende folgende lösung gebracht hat
[mm] \bruch{\pi R^2}{R^2+1}
[/mm]
naja und nun die frage, darf ich überhaupt in polarkoordinaten einfach ohne weiteres umformen und falls ja, stimmt meine lösung dann überhaupt ?
mfg
marc
|
|
| |
|
Hallo!
Den Wechsel in Polarkoordinaten hast du richtig gemacht.
Allerdings riecht [mm] \frac{R}{R^2+1} [/mm] förmlich nach einem Integranden wie [mm] \frac{v'}{v} [/mm] , dessen Stammfunktion ist dann ln(v). Nochmal hinschaun zeigt, daß [mm] \int\frac{R}{R^2+1}=\frac{1}{2}\ln(R^2+1) [/mm] ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:01 Fr 24.10.2008 | | Autor: | meep |
na toll, da hab ich mich sogar noch verschrieben in meiner lösung, ich werds schnell ausbessern, da sollte nämlich ein hoch 2 sein :(
edit: so nochmal von vorne
1. Umformen in Polarkoordinaten ergibt:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{R} \bruch{r}{(r^2+1)^2} drd\phi
[/mm]
2. Integration nach r und einsetzen der Integrationsgrenzen liefert:
[mm] \integral_{0}^{2\pi} \bruch{-1}{2(r^2+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} d\phi
[/mm]
3. Faktor [mm] \bruch{1}{2} [/mm] vors Integral ziehen
[mm] \bruch{1}{2} \integral_{0}^{2\pi} [/mm] 1 - [mm] \bruch{1}{R^2+1}
[/mm]
4. Integration nach [mm] \phi [/mm] und einsetzen der Grenzen liefert:
[mm] \bruch{2\pi R^2}{2(R^2+1)}
[/mm]
5. Kürzen:
[mm] \bruch{\pi R^2}{R^2+1}
[/mm]
Ich hoffe ich hab dieses mal keinen Fehler gemacht. Wäre nett, wenn du nochmal drüberschauen könntest.
MFG
Marc
|
|
|
| |
|
Hallo Marc,
> na toll, da hab ich mich sogar noch verschrieben in meiner
> lösung, ich werds schnell ausbessern, da sollte nämlich ein
> hoch 2 sein :(
>
>
> edit: so nochmal von vorne
>
> 1. Umformen in Polarkoordinaten ergibt:
>
> [mm] $\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{R} \bruch{r}{(r^2+1)^2} drd\phi$
[/mm]
>
> 2. Integration nach r und einsetzen der Integrationsgrenzen
> liefert:
>
> [mm] $\integral_{0}^{2\pi}{\red{\left(} \bruch{-1}{2(r^2+1)} + \bruch{1}{2}\red{\right)} d\phi}$
[/mm]
>
> 3. Faktor [mm]\bruch{1}{2}[/mm] vors Integral ziehen
>
> [mm] $\bruch{1}{2} \integral_{0}^{2\pi}{\red{\left(}\ 1 - \bruch{1}{R^2+1}\red{\right) \ d\phi}}$
[/mm]
>
> 4. Integration nach [mm]\phi[/mm] und einsetzen der Grenzen
> liefert:
>
> [mm] $\bruch{2\pi R^2}{2(R^2+1)}$
[/mm]
>
> 5. Kürzen:
>
> [mm]\bruch{\pi R^2}{R^2+1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Ich hoffe ich hab dieses mal keinen Fehler gemacht.
Nein, hast du nicht, das sieht alles sehr gut aus!
> Wäre nett, wenn du nochmal drüberschauen könntest.
>
> MFG
>
> Marc
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo,
Du bist noch nicht ganz fertig.
Du solltest doch $ [mm] \integral_{\IR^2} [/mm] $ 1 / $ [mm] (x^2+y^2+1)^2 [/mm] $ dx dy berechnen, also ein Integral über dem kompletten [mm] \IR^2 [/mm] und nicht über einem Kreis mit Radius R.
> edit: so nochmal von vorne
>
> 1. Umformen in Polarkoordinaten ergibt:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{R} \bruch{r}{(r^2+1)^2} drd\phi[/mm]
Also müßte das hier heißen
[mm] \lim_{R\to \infty}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{R} \bruch{r}{(r^2+1)^2} drd\phi,
[/mm]
mit der Folge, daß Du am Ende nioch den Grenzwert des Ergebnisses berechnen mußt.
> 5. Kürzen:
>
> [mm]\bruch{\pi R^2}{R^2+1}[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Thong |
hallo
mal nur so aus neugier, aber wieso kann man nicht die identität
[mm] x^2 + y^2 = 1 [/mm] einsetzen, also quasi [mm] y^2 = 1- x^2[/mm] woraus dann
[mm] 1/(x^2 + 1 - x^2 +1)^2 [/mm] folgt, was dann [mm] 1/4 [/mm] liefert, und was man dann nur noch über x und y zu integrieren braucht.
thx
|
|
|
| |
|
> hallo
>
> mal nur so aus neugier, aber wieso kann man nicht die
> identität
>
> [mm]x^2 + y^2 = 1[/mm] einsetzen,
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich glaube, daß Du irgendwas verwechselst.
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] ist doch nicht immer =1. (?)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Thong |
hallo,
ist dies nicht diese "kreisgleichung" ?
[mm] y = +/- \wurzel(1-x^2) [/mm]
|
|
|
| |
|
> hallo,
>
> ist dies nicht diese "kreisgleichung" ?
>
>
> [mm]y = +/- \wurzel(1-x^2)[/mm]
Hallo,
für Punkte (x,y), die auf dem Einheitskreis liegen, gilt in der Tat [mm] x^2+y^2=1
[/mm]
Aber in der Aufgabe, auf welche Du Dich beziehst, würde ja ein Flächenintegral über ganz den ganzen [mm] \IR^2 [/mm] berechnet.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
