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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Sa 06.09.2008 | | Autor: | JMW |
| Aufgabe | | Berechnen Sie folgendes Integral: [mm] \integral{b sin\alpha cos\alpha d\alpha} [/mm] |
Ich steh hier irgendwie auf dem Schlauch, mit partieller Ableitung kommt man ja auch nicht gerade weiter. Kann mir Jemand helfen? Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Sa 06.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Es gibt mehrere Möglichkeiten:
1) partielle Integration (ich lass mal das $b$ weg)
[mm] $\int \sin x\cos [/mm] x [mm] dx=-\cos^2 [/mm] x - [mm] \int \cos x\sin [/mm] x dx [mm] \gdw \int \sin x\cos [/mm] x [mm] dx=-\frac{1}{2}\cos^2 [/mm] x$
2) Du siehst dass [mm] $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin(2x)$ [/mm] ist (Additionstheorem) und löst es mit Substitution
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Sa 06.09.2008 | | Autor: | JMW |
Danke schonmal.
Bei 1 versteh ich nicht so ganz, wie du auf das Ergebnis durch partielle Integration kommst.
Bei 2 become ich dann [mm] raus:\bruch{1}{4}cos(2x) [/mm] was ja auch nicht ganz dem ersten Ergebnis entspricht. Hab ich da ein Fehler gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Sa 06.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
(I) $ [mm] \int\, \sin x\cos [/mm] x [mm] \;dx=-\cos^2 [/mm] x - [mm] \int \cos x\sin [/mm] x [mm] \;dx$
[/mm]
> Bei 1 versteh ich nicht so ganz, wie du auf das Ergebnis
> durch partielle Integration kommst.
diese Zeile folgt durch - wie schon erwähnt - partielle Integration. Wenn Du nun mal das gesuchte Integral [mm] $\black{Y}$ [/mm] nennst, also:
[mm] $Y:=\int\, \sin x\cos [/mm] x [mm] \;dx$
[/mm]
so läßt sich (I) äquivalent umschreiben zu
[mm] $Y=-\cos^2 [/mm] (x)-Y$
Löse das mal nach (dem gesuchten) [mm] $\black{Y}$ [/mm] auf, und fertig.
> Bei 2 become ich dann [mm]raus:\bruch{1}{4}cos(2x)[/mm] was ja auch
> nicht ganz dem ersten Ergebnis entspricht. Hab ich da ein
> Fehler gemacht?
Nein, das stimmt im Wesentlichen bzw. fast (es fehlt nur ein -, also [mm] $\blue{-}\;\bruch{1}{4}cos(2x)$):
[/mm]
[mm] $\int\, \sin(x)\,\cos(x)\;dx=\int\,\frac{1}{2}\,\sin(2x)dx=\frac{1}{4}\,\int\,\sin(2x)\;(2dx)=(\star)$
[/mm]
Substituierst Du nun $z=2x$, so ist [mm] $(\star)=\;-\;\frac{1}{4}\cos(2x)$
[/mm]
Deine Konsequenz ist nur falsch. Du solltest Dir nun nur klarmachen, dass - und warum - einfach für jedes $x [mm] \in \IR$:
[/mm]
$$
[mm] \text{(II) }\;\;\; -\;\frac{1}{4}\cos(2x)\,=\,\;-\;\frac{1}{2}\cos^2(x) [/mm] + C
$$
(mit einer Konstanten $C [mm] \;(\in \IR)$) [/mm] gilt. (Stammfunktionen unterscheiden sich (höchstens) um eine additive Konstante!)
Tipps dazu:
Verwende [mm] $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$ [/mm] (trigonometrischer Pythagoras) und [mm] $\cos(2x)=\cos(x+x)=\cos(x)\cos(x)-\sin(x)\sin(x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$ [/mm] (Also das Additionstheorem für [mm] $\cos(.)$.)
[/mm]
Und vielleicht rechnest Du anstatt [mm] $\text{(II)}$ [/mm] damit einfach nach, dass
$$
[mm] \cos^2(x)\;-\;\frac{1}{2}\cos(2x)
[/mm]
$$
eine Konstante (Funktion, also von $x$ unabhängig) ist.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:09 Sa 06.09.2008 | | Autor: | JMW |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Sa 06.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die ausführliche Antwort!
gern geschehen, ich habe nur eben festgestellt, dass ich vorhin öfters den Faktor [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] verschlampt habe. Jetzt sollte das aber alles so passen (hoffe ich) 
Gruß,
Marcel
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