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Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:52 So 08.07.2007
Autor: kiriS

Aufgabe
[mm] \integral_{\bruch{-\pi}{2a}}^{\bruch{\pi}{2a}}{lna \cdot cosax dx} [/mm]

Hallo Zusammen,

wie geh ich am besten vor, um das gegebene Integral zu lösen?? Muss ich da partiell integrieren?

Wäre für Tipps sehr dankbar.


Vielen lieben Dank im voraus

        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:57 So 08.07.2007
Autor: Stefan-auchLotti


> [mm]\integral_{\bruch{-\pi}{2a}}^{\bruch{\pi}{2a}}{lna \cdot cosax dx}[/mm]
>  
> Hallo Zusammen,

Hi!

>  
> wie geh ich am besten vor, um das gegebene Integral zu
> lösen?? Muss ich da partiell integrieren?
>  

Nein. [mm] $\ln [/mm] a$ stellt hier einen harmlosen konstanten Vorfaktor dar, was die Sache enorm vereinfacht. Die Stammfunktion von [mm] $\cos [/mm] x$ ist ... ? Stichwort, um das $a$ zu bekämpfen: Kehrwert.

> Wäre für Tipps sehr dankbar.
>  

Schau' einfach mal, ob das an Tipps genügt.

>
> Vielen lieben Dank im voraus

Grüße, Stefan.

Bezug
                
Bezug
Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:03 So 08.07.2007
Autor: kiriS

Bilde ich dann einfach zu lna die Stammfunktion?

Also [mm] \bruch{1}{a} \cdot [/mm] lna ?

Die Stammfunktion von cosx ist sinx. Aber ich versteh das Vorgehen zu a nicht so ganz. Könntest du es bitte vielleicht näher erläutern.

Bezug
                        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:12 So 08.07.2007
Autor: Stefan-auchLotti


> Bilde ich dann einfach zu lna die Stammfunktion?
>

Nein, das ist einfach eine Zahl. Du kennst ja vom Ableiten die Faktorregel [mm] $f(x)=c*g(x)\quad\Rightarrow\quad [/mm] f'(x)=c*g'(x)$ Daher kannst du einfach das [mm] $\ln [/mm] a$ völlig außer Acht lassen und vor das Integral ziehen:

[mm] $$\ln a*\int\cos\left(ax\right)\,\mathrm{d}x$$ [/mm]

Nun mal überlegen: [mm] $f(x)=\sin [/mm] x$, also [mm] $f'(x)=\cos [/mm] x$. Wenn [mm] $f(x)=\sin\left(ax\right)$ [/mm] ist, dann ist $f'(x)$ gemäß Kettenregel [mm] $=\cos\left(ax\right)*a$. [/mm] Hier stört uns also noch das hinzugekommene $a$. Daher einfach den Kehrwert [mm] $\bruch{1}{a}$ [/mm] noch einbauen und fertig ist die Geschichte. Kommst du jetzt klar?

> Also [mm]\bruch{1}{a} \cdot[/mm] lna ?
>  

Noch nebenbei: Die Stammfunktion von [mm] $\ln [/mm] x$ wäre [mm] $x*\ln [/mm] x-x$, das kann man via partieller Integration herleiten. Die Ableitung von [mm] $\ln [/mm] x$ ist übrigens [mm] $\bruch{1}{x}$, [/mm] dessen Stammfunktion aber wiederum [mm] $\ln\left|x\right|$. [/mm]

> Die Stammfunktion von cosx ist sinx. Aber ich versteh das
> Vorgehen zu a nicht so ganz. Könntest du es bitte
> vielleicht näher erläutern.

Stefan.

Bezug
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