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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Sa 03.03.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Berechnen sie die Bogenlänge der Schleife
[mm] y^2=\bruch{1}{9}x(x-3)^2 [/mm]
[mm] x\in[0,3] [/mm]
[mm] B=\integral_{a}^{b}{\wurzel{1+(y')^2} dx} [/mm] |
Hi,
das ist heute schon ungefähr die 5. Frage die ich heute stelle -sorry. Komm mir schon wie ein Versager vor...
Ok, zur Frage:
Hab für [mm] y'=\bruch{1}{2}(\bruch{1}{9}x(x-3)^2)^{-\bruch{1}{2}}*(\bruch{1}{3}x^2-\bruch{4}{3}x+1)
[/mm]
Mein Problem ist das integrieren nach der Formel für B. Wie geht man an sowas ran und gibts vielleicht ne Homepage die das gut erklärt?
Vielen Dank für die Hilfe
Stefan
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> Berechnen sie die Bogenlänge der Schleife
> [mm]y^2=\bruch{1}{9}x(x-3)^2[/mm]
> [mm]x\in[0,3][/mm]
> [mm]B=\integral_{a}^{b}{\wurzel{1+(y')^2} dx}[/mm]
> Hab für
> [mm]y'=\bruch{1}{2}(\bruch{1}{9}x(x-3)^2)^{-\bruch{1}{2}}*(\bruch{1}{3}x^2-\bruch{4}{3}x+1)[/mm]
Hallo,
Deine Ableitung sieht etwas wild aus - kann sein, daß sie stimmt, ich hab's nicht nachgerechnet.
Aus
[mm] y^2=\bruch{1}{9}x(x-3)^2
[/mm]
erhält man ja [mm] y=\pm\bruch{1}{3}(x-3)\wurzel{x}
[/mm]
Der Bogen besteht aus den beiden Teilbögen [mm] y_1=\bruch{1}{3}(x-3)\wurzel{x} [/mm] und [mm] y_2=-\bruch{1}{3}(x-3)\wurzel{x},
[/mm]
Die Bogenlänge B ist also die Summe der Länge der beiden Funktionsgraphen,
[mm] B=\integral_{0}^{3}\wurzel{1-(y_1')^2dx} +\integral_{0}^{3}\wurzel{1-(y_2')^2dx}
[/mm]
[mm] =2\integral_{0}^{3}\wurzel{1-(y_1')^2dx} [/mm] , denn [mm] y_2=-y_1
[/mm]
Ich vermute, daß Dir das Integrieren nicht schwerfallen wird, wenn Du die Ableitung "vernünftig" dastehen hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Sa 03.03.2007 | | Autor: | polyurie |
Ok, hab die Ableitung gebieldet:
[mm] \bruch{1}{3}\wurzel{x}+\bruch{1}{3}x\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}-\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
Bekomm es aber trotzdem nicht auf die Reihe das zu integrieren...
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> Ok, hab die Ableitung gebieldet:
>
> [mm]\bruch{1}{3}\wurzel{x}+\bruch{1}{3}x\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}-\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
Nun überleg Dir mal, was [mm] x*x^{-\bruch{1}{2}} [/mm] ergibt, wenn Du das hast, kannst Du weiter zusammenfassen.
> Bekomm es aber trotzdem nicht auf die Reihe das zu
> integrieren...
Kannst es mit der zusammengefaßten Funktion ja schonmal aufschreiben.Dann sehen wir weiter.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 Sa 03.03.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm] y = \bruch{1}{3}\wurzel{x}.(x-3) = \bruch{1}{3}x^{\bruch{3}{2}}- x^{\bruch{1}{2}}[/mm]
daher
[mm]y' = \bruch{1}{2}x^{\bruch{1}{2}}-\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}} [/mm]
daher
[mm](y')^{2} = \bruch{1}{4}(x - 2 + \bruch{1}{x})[/mm]
weiters
[mm]1 + (y')^{2} = \bruch{1}{4}(x + 2 + \bruch{1}{x}) = [/mm]
[mm]= (\bruch{1}{2}(x + \bruch{1}{x}))^{2}
[/mm]
Jetz brauchst du nur mehr
[mm]\integral_{0}^{3}{\bruch{1}{2}(x + \bruch{1}{x}) dx} [/mm]
berechnen und dann *2 multiplizieren , was ich dir überlasse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Sa 03.03.2007 | | Autor: | polyurie |
ok soweit verstanden, aber das Integral aufgelöst ergibt
[mm] x^{2}+\bruch{1}{2}ln(x)
[/mm]
das verträgt sich nicht mit den Grenzen 3 und 0
Wie ist das zu verstehen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Sa 03.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo ,
das liegt daran, das y´ an den Grenzen nicht definiert ist (senkrechte Tangenten )
LG
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:02 So 04.03.2007 | | Autor: | polyurie |
versteh ich nicht, wie bekomme ich dann die Lösung?
Die Lösung ist angegeben mit [mm] 4\wurzel{3}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:21 So 04.03.2007 | | Autor: | polyurie |
ok nach dem Tipp von heyks hats geklappt, vielen dank dafür!!!
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:24 So 04.03.2007 | | Autor: | heyks |
>
> [mm]= (\bruch{1}{2}(x + \bruch{1}{x}))^{2}
[/mm]
>
Es muß heißen : [mm] (\bruch{1}{2}( \wurzel{x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}}))^{2} [/mm]
> Jetz brauchst du nur mehr
>
> [mm]\integral_{0}^{3}{\bruch{1}{2}( \wurzel{x}+ \bruch{1}{\wurzel{x}}) dx}[/mm]
>
> berechnen und dann *2 multiplizieren , was ich dir
> überlasse
>
Jetzt besser ?
LG
Heiko
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