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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Mi 07.02.2007 | | Autor: | MTBE |
| Aufgabe | Man berechne die Integrale:
(a) [mm] \integral_{K}^{} [/mm] exp [mm] (\bruch{1}{2}\wurzel{x^{2}+y^{2}}) {d\mu_{2}(x,y)} [/mm] mit [mm] K:=\left\{ \vektor{x \\ y}| 1 \le x^{2}+y^{2}\le9; 0\le x \right\}
[/mm]
(Polarkoordinaten)
(b) [mm] \integral_{0}^{1}{ (\integral_{0}^{\wurzel{x}} \bruch{sin(y)}{1+y} {dy}) dx}
[/mm]
(Vertauschen der Integrationsreihenfolge) |
Guten Abend.
Ich hätte folgende Fragen:
zu (a)
Zunächst wende ich die Transformationsgleichung an und erhalte:
[mm] \integral_{K}^{} [/mm] exp ( [mm] \bruch{1}{2} [/mm] r)
und nach der Integration:
[mm] 2*e^{ \bruch{1}{2} r}
[/mm]
nur wie sind jetzt meine Integrationsgrenzen?
zu (b)
Wenn ich die Integrationsreihenfolge vertausche muss ich die Grenzen auch neu berechen, wie mache ich das?
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Hallo!
Kannst du mal erklären, was das µ in deiner ersten Aufgabe ist? Ich denke mal, daß du über die Fläche K integrieren sollst?
Dann ist dir da noch ein Fehler unterlaufen. Wenn du in polarkoordinaten übergehst, mußt du diese nicht nur in deinen Integranden einsetzen, sondern zusätzlich den Integranden noch mit r multiplizieren. Das hängt damit zusammen, daß ein Flächenstück [mm] $d\phi [/mm] dr$ nicht immer gleich groß ist - je weiter weg vom Ursprung es sich befindet, desto größer ist es - uns zwar um den Faktor r.
Wie das grundsätzlich geht, steht hier
ZU den Grenzen: Nun, es gilt 0<r<R, wobei R=3 gilt.
Dann ist das nur ein Halbkreis, weil x>0 sein soll, das heißt für den Winkel z.B.: [mm] $3\pi [/mm] /2 < [mm] \phi [/mm] < [mm] 5\pi [/mm] /2$
Also: Du mußt noch ein r in den INtegranden packen, und neben der Integration über r auch über [mm] \phi [/mm] integrieren (gibt letzendlich ja nur einen Faktor [mm] \pi [/mm] )!
KLeiner Tipp: Die Stammfunktopn von r*exp(r) ist r*exp(r)-exp(r)
Zur zweiten Aufgabe:
Zeichne doch mal das Integrationsgebiet: DAs ist die Fläche zwischen 0<x<1 unter der Wurzelfunktion. Für y gilt also [mm] $0
Jetzt mußt du das andersrum sehen: y geht von 0 bis 1 (erkennst du auch an der Zeichnung!), und x geht dann auch immer bis 1, aber von wo an? Also x abhängig von y! DAs ist die untere Grenze!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Mi 07.02.2007 | | Autor: | MTBE |
Hallo Event_Horizon
Zunächst einmal vielen Dank für deine Hilfsbereitschaft, aber weiter komm ich durch deine Antwort nicht unbedingt.
zu 1)
wie kommt man darauf, dass 0<r<R gilt, wobei R=3 gilt?
x>0 entnimmst du aus K= 0 [mm] \le [/mm] x, richtig?
wie komme ich dann auf den Winkel [mm] \bruch{3\pi}{2} [/mm] < ... < [mm] \bruch{5\pi}{2}
[/mm]
zu 2)
ich hab doch gar keine Wurzelfunktion...
ich weiß überhaupt nicht wie ich das Integrationsgebiet zeichnen soll...
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:06 Fr 09.02.2007 | | Autor: | MTBE |
Servus an alle Onliner
Kann mir jemand vielleicht nochmal erklären wie ich die Grenzen von karthesischen Koordinaten in Polarkoordinaten umrechne
und
was ich beachten muss wenn ich die Integrationsgrenzen vertausche?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 So 11.02.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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[mm]K = \left\{ \, (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \left| \, 1 \leq x^2 + y^2 \leq 9 \, , \, x \geq 0 \, \right. \right\}[/mm]
Polarkoordinaten:
[mm]x = r \cos{\varphi} \, , \ \ y = r \sin{\varphi}[/mm]
Umrechnung des Integranden:
[mm]\operatorname{e}^{\frac{1}{2} \, \sqrt{x^2 + y^2}} \, \mathrm{d}(x,y) \ = \ r \cdot \operatorname{e}^{\frac{1}{2} \, r} \, \mathrm{d}(r,\varphi)[/mm]
Umrechnung des Integrationsgebietes:
[mm]K' = \left\{ \, (r,\varphi) \in \mathbb{R}^2 \, \left| \, 1 \leq r \leq 3 \, , \, - \frac{\pi}{2} \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2} \, \right. \right\}[/mm]
Für [mm]\varphi[/mm] kannst du natürlich auch [mm]\frac{3}{2} \, \pi \leq \varphi \leq \frac{5}{2} \, \pi[/mm] nehmen.
Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Sa 10.02.2007 | | Autor: | MTBE |
Vielen Dank für deine Antwort
Du hast mir die komplette Lösung für meine Aufgabe geschickt, aber wie komme ich selbst auf die Grenzen von "1" und "3"?
Ich muss in der Klausur selbst drauf kommen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Sa 10.02.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo MTBE,
die Integralgrenzen ergeben sich aus den Werten der beiden ineinandergeschachtelten Kreise. Dein Definitionsgebiet lautet doch
$$ 1 [mm] \le x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le [/mm] 9 $$ und das sind genau zwei ineinanderliegende Kreise nach der bekannten Kreisgleichung
$$ [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = [mm] r^2 \, [/mm] . $$
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Sa 10.02.2007 | | Autor: | MTBE |
OK, danke.
ich habs gecheckt
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