www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Integration" - Integration
Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:16 Di 25.04.2006
Autor: Kuebi

Aufgabe
Ist die Funktion [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{x}, x \in (0,1] \\ 0, x=0 \end{cases} [/mm] integrierbar?

Hallo ihr!

Hab mir nochmals zu einer Aufgabenstellung Gedanken gemacht und stelle dieser nun der öffentlichen Kritik ... ;-)

Ich habe zur Beantwortung zwei aus der Vorlesung bekannte Tatsachen benutzt:

1. Jede stetige Funktion ist integrierbar und
2.  [mm] \integral_{a}^{a}{f(x) dx} [/mm] := 0.

Da die Funktion f auf (0,1] stetig ist und für [mm] x_{0} [/mm] = 0 =: a müsste ja für die Funtion folgen, dass sie integrierbar ist bei [mm] x_{0} [/mm] und auf (0,1] und somit insgesamt integrierbar *!?*

Kann das so sein? Oder mache ich es mir da zu einfach?

Vielen Dank im Vorab!

Lg, Kübi
        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:27 Di 25.04.2006
Autor: MatthiasKr

Hallo Kübi,

ganz so leicht ist es nicht.... ;-) ist eine funktion auf einem abgeschlossenen, endlichen intervall stetig, so ist sie auch integrierbar, ja. Für funktionen mit unstetigkeiten (deine fkt. hat in $0$ einen pol) gilt die aussage mitnichten.
Vielmehr müsstest du hier ein grenzwert-argument durchführen:

Berechne [mm] $\int_a^1{\frac{1}{x}dx=.....}$ [/mm] und gehe dann mit $a$ gegen $0$. Was passiert mit dem integral?

VG
Matthias
Bezug
                
Bezug
Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:12 Di 25.04.2006
Autor: Kuebi

Hallo Matthias!

Vielen Dank! Na dann schauen wir mal dass die Sache komplizierter wird! ;-)

Okay, also:

[mm] \integral_{1}^{a}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] ist aus der Vorlesung bewiesen zu log(a).

Folglich ist [mm] \integral_{1}^{a}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] = [mm] -\integral_{a}^{1}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] = -log(a).

Und  [mm] \limes_{a\rightarrow 0}-log(a) [/mm] = [mm] \infty. [/mm]

Folglich saust mein Integral gegen Unendlich.

Soweit so gut! Aber heißt eine Funktion auch integrierbar wenn das Integral gegen Unendlich saust? Demzufolge was in meinem Skript zur Def. vom Riemann-Integral steht würde ich jetzt spontan sagen nein, sie ist nicht integrierbar! :-)

Dass die Funktion an [mm] x_{0} [/mm] = 0 integriebar ist stimmt dann aber, oder?

Lg, Kübi
Bezug
                        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:22 Mi 26.04.2006
Autor: MatthiasKr

Hallo Kübi,


> [mm]\integral_{1}^{a}{\bruch{1}{x} dx}[/mm] ist aus der Vorlesung
> bewiesen zu log(a).

Halt! Das gilt für $a>1$.... Für $a<1$ ist

[mm]\integral_{a}^{1}{\bruch{1}{x} dx}=-\log(a)[/mm]


>  
> Folglich ist [mm]\integral_{1}^{a}{\bruch{1}{x} dx}[/mm] =
> [mm]-\integral_{a}^{1}{\bruch{1}{x} dx}[/mm] = -log(a).

[kopfschuettel] Noch ein Vorzeichenfehler...

>  
> Und  [mm]\limes_{a\rightarrow 0}-log(a)[/mm] = [mm]\infty.[/mm]
>  
> Folglich saust mein Integral gegen Unendlich.

[daumenhoch] Doppelter Fehler hebt sich auf, hier stimmts wieder! ;-)
>
> Soweit so gut! Aber heißt eine Funktion auch integrierbar
> wenn das Integral gegen Unendlich saust? Demzufolge was in
> meinem Skript zur Def. vom Riemann-Integral steht würde ich
> jetzt spontan sagen nein, sie ist nicht integrierbar! :-)

Richtig, die funktion ist nicht integriebar, da sie kein endliches integral besitzt....

> Dass die Funktion an [mm]x_{0}[/mm] = 0 integriebar ist stimmt dann
> aber, oder?

Nein! Von Integrierbarkeit in einem punkt zu sprechen macht i.A. keinen Sinn. Ich denke, darum geht es bei der aufgabe auch nicht, sondern um das intervall $I=[0;1]$.

VG
Matthias

Bezug
                                
Bezug
Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:21 Mi 26.04.2006
Autor: Kuebi

Hallo Matthias!

Jaja, die Vorzeichen! Im Eifer des Gefechts doppelt verdreht. Aber die Tatsache dass am Ende dann das Richtige rauskommt ist eben faszinierend! ;-)

Vielen Dank für deine Hilfe!

Lg, Kübi
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]