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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:27 Do 04.06.2015 | | Autor: | Hikari |
| Aufgabe | Berechne [mm] \integral_{a_{min}}^{a_{max}}{\frac{xa_{min}^x}{a^{(x+1)}-\frac{\gamma a^{x+2}}{r}}da}
[/mm]
[mm] \gamma [/mm] ,x,r sind Konstanten. |
Hi!
Ich habe versucht dies auf verschiedene Arten integrieren, komme aber irgendwie nicht weiter. Nach herausziehen der Konstante im Zaehler habe ich mit mehrmals angewandter partieller Integration nur noch umstaendlichere Terme produziert, von denen ich genauso wenig die Stammfunktion weiss. Leider baut der ganze Rest darauf auf,sodass ich jetzt nicht weitermachen kann, solange ich das nicht geloest habe.
Hat vielleicht jemand einen Tipp fuer mich,wie man daran gehen kann, sodass da nicht noch mehr Terme rauskommen,ueber die ich nichts sagen kann?:)
Ich waere aesserst dankbar, da das Bestehen eines Kurses an meiner Faehigkeit zu scheitern droht, schulmaessig zu integrieren-.-
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Hiho,
konstanten hast du ja selbst im Zähler rausgezogen (daher ignoriere ich sie mal), dann faktorisiert man [mm] a^{x+1} [/mm] im Zähler raus und bekommt:
[mm] $\integral_{a_{min}}^{a_{max}}{\frac{1}{a^{(x+1)}\left(1-\frac{\gamma a}{r}\right)}da}$
[/mm]
Nun substituiert man [mm] $z=\frac{\gamma a}{r}$ [/mm] und erhält:
[mm] $\integral_{z_{min}}^{z_{max}}{\frac{1}{\left(\frac{rz}{\gamma}\right)^{(x+1)}\left(1-z\right)}dz} [/mm] = [mm] \left(\frac{\gamma}{r}\right)^{x+1}\integral_{z_{min}}^{z_{max}}{\frac{1}{z^{(x+1)}\left(1-z\right)}dz}$
[/mm]
Und das bekommst du jetzt schön integriert 
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:49 Do 04.06.2015 | | Autor: | chrisno |
Ich habe Wolfram alpha befragt und erhalte die unvollständige Betafunktion als Stammfunktion.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:28 Do 04.06.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Ich habe Wolfram alpha befragt und erhalte die unvollständige Betafunktion als Stammfunktion.
aufpassen! dz, nicht dx.
edit: Da geb ich den Tipp noch, nur um festzustellen, dass ich genau den Fehler gemacht hab..... Danke für den Hinweis.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:15 Do 04.06.2015 | | Autor: | Hikari |
Danke vielmals!
Habe dann aber noch leider weiterfuehrende Fragen.
Da meine letzte Integration schon ein paar Semester her ist, habe ich mir mal den passenden Wikipediaartikel zur Substitution angesehen. (http://de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution)
Nach deren Notation haette ich doch jetzt [mm] (\mu [/mm] ersetzt phi)
[mm] \mu [/mm] (a)=z
[mm] \mu [/mm] '(a)da=dz
Muss dann demzufolge nicht noch ein [mm] \frac{\gamma}{r}^{-1} [/mm] dazukommen das demnach die vordere Konstante veraendert?
Zudem komme ich mir gerade sehr behaemmert aus, da ich leider nicht weiss wie ich den Rest, der nun zugegebener Weise wesentlich schoener aussieht, einfach integrieren soll. Braauche ich da nicht nochmal partielle Integration fuer?Die Stammfunktion von [mm] \frac{1}{x} [/mm] ist log x, aber ich habe ja immer noch den inneren Term.
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Hiho,
> Nach deren Notation haette ich doch jetzt [mm](\mu[/mm] ersetzt
> phi)
> [mm]\mu[/mm] (a)=z
> [mm]\mu[/mm] '(a)da=dz
> Muss dann demzufolge nicht noch ein [mm]\frac{\gamma}{r}^{-1}[/mm]
> dazukommen das demnach die vordere Konstante veraendert?
ja, hab ich verschlampt.
Gut mitgedacht!
> Zudem komme ich mir gerade sehr behaemmert aus, da ich
> leider nicht weiss wie ich den Rest, der nun zugegebener
> Weise wesentlich schoener aussieht, einfach integrieren
> soll. Braauche ich da nicht nochmal partielle Integration
> fuer?Die Stammfunktion von [mm]\frac{1}{x}[/mm] ist log x, aber ich
> habe ja immer noch den inneren Term.
stimmt. Das Integral lässt sich leider auch nicht elementar lösen.
D.h. sofern du nicht noch ein paar weitere Bedingungen an deine Konstanten hast, brauchst du, wie von chrisno angemerkt, die Beta-Funktion als Darstellung.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Do 04.06.2015 | | Autor: | Hikari |
Hm ich verstehe. Wolfram alpha hatte ich ganz vergessen-klar das gibts ja auch noch. Ok das gibt mir jetzt beta(z, 1-x, 0)-z^(-x)/x+constant raus, was mir wirklich nichts bringt, da ich am ende eine Aussage ueber den Zusammenhang zwischen [mm] \gamma [/mm] und r machen soll...die jetzt in Constant verschwunden sind:P
Ich habe weiterhin die Bedingungen dass alle Konstanten zwischen 0 und 1 liegen. Weiss aber nicht in wiefern mich das weiterbringt, daher habe ich es nicht erwaehnt, sorry.
Daher die Frage, kann man vielleicht eine andere Substitution waehlen, sodass man eine andere Darstellung bekommt?Es handelt sich ja gerade um die substituierte Version.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 Do 04.06.2015 | | Autor: | chrisno |
> Hm ich verstehe. Wolfram alpha hatte ich ganz
> vergessen-klar das gibts ja auch noch. Ok das gibt mir
> jetzt beta(z, 1-x, 0)-z^(-x)/x+constant raus, was mir
> wirklich nichts bringt, da ich am ende eine Aussage ueber
> den Zusammenhang zwischen [mm]\gamma[/mm] und r machen soll...die
> jetzt in Constant verschwunden sind:P
Nein, da sind sie nicht. Sie stehen in dem Vorfaktor. Nun weißt Du, dass sie als Vorfaktor vor dem Wert des Integrals auftauchen.
> Ich habe weiterhin die Bedingungen dass alle Konstanten
> zwischen 0 und 1 liegen. Weiss aber nicht in wiefern mich
> das weiterbringt, daher habe ich es nicht erwaehnt, sorry.
Damit sind die Voraussetzungen erfüllt, dass die ... Beta-Funktion eine Stammfunktion ist. Beschränkungen für [mm]\gamma[/mm] und r liefert das Integral nicht.
>
> Daher die Frage, kann man vielleicht eine andere
> Substitution waehlen, sodass man eine andere Darstellung
> bekommt?Es handelt sich ja gerade um die substituierte
> Version.
Das Verstehe ich nicht. Durch eine andere Darstellung kannst Du die mathematischen Aussagen nicht ändern. Kernaussage für Dich ist: [mm]\gamma[/mm] und r können aus dem Integral gezogen werden (mit einer Potenz versehen). Also kann aus dem Integral nicht auf [mm]\gamma[/mm] und r geschlossen werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:13 Do 04.06.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Das Verstehe ich nicht. Durch eine andere Darstellung
> kannst Du die mathematischen Aussagen nicht ändern.
Dem stimme ich zu.
> Kernaussage für Dich ist: [mm]\gamma[/mm] und r können aus dem
> Integral gezogen werden (mit einer Potenz versehen). Also
> kann aus dem Integral nicht auf [mm]\gamma[/mm] und r geschlossen werden.
Aufpassen: [mm] \gamma [/mm] und r sind durch [mm] z_{min} [/mm] und [mm] z_{max} [/mm] auch in den Integralgrenzen vorhanden.
D.h. der Wert des Integrals hängt sehr wohl auch von diesen beiden konstanten ab!
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:14 Do 04.06.2015 | | Autor: | chrisno |
Da hat Du recht und ich habe nicht aufgepasst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:28 Fr 05.06.2015 | | Autor: | Hikari |
Es handelt sich doch jetzt um eine Stammfunktion der substituierten Version und nicht der urspruenglichen. Meine Frage war daher ob man nicht eine andere Integrationsmethode oder anders substituieren kann, sodass wir am Ende nicht eine Darstellung mit der Betafunktion bekommen bzw eine in der das worueber ich eine Aussage machen moechte, nicht vom Integralwert abhaengt, den ich nur implizit dargestellt bekomme. Da nun ein Teil von dem worueber ich eine Aussage machen moechte im Integral steckt, kann ich ja nun keine Aussage machen, oder sehe ich das falsch? (was ich hoffen wuerde, in dem Fall...)
Ich habe mal Wolfram Alpha versucht zu befragen aber irgendwie rechnet mir das Program immer nur die Stammfunktion von Sinus aus (auch nach Variablennamenaenderung.)Wir missverstehen uns irgendwie..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Fr 05.06.2015 | | Autor: | chrisno |
> Es handelt sich doch jetzt um eine Stammfunktion der
> substituierten Version und nicht der urspruenglichen.
Du kannst nun zurück substituieren. Es hilft Dir aber wahrscheinich wenig.
> Meine Frage war daher ob man nicht eine andere
> Integrationsmethode oder anders substituieren kann, sodass
> wir am Ende nicht eine Darstellung mit der Betafunktion
> bekommen bzw eine in der das worueber ich eine Aussage
> machen moechte, nicht vom Integralwert abhaengt, den ich
> nur implizit dargestellt bekomme.
Da sehe ich schwarz. Die Beta-Funktion wäre nicht definiert worden, wenn es so einen Ausweg gegeben hätte.
> Da nun ein Teil von dem
> worueber ich eine Aussage machen moechte im Integral
> steckt, kann ich ja nun keine Aussage machen, oder sehe ich
> das falsch? (was ich hoffen wuerde, in dem Fall...)
Nimm mal an, die Stammfunktion wäre sin(...). Solange die Koeffizienten innerhalb des Arguments des Sinus stecken, wirst Du versuchen mit Deinen Kenntnissen des Sinus noch möglichst viel zu schließen. Ähnlich wäre nun das Vorgehen für die Beta-Funktion.
Ich würde nun ein paar realistische Werte nehmen und mir etliche Grafenscharen plotten lassen.
> Ich habe mal Wolfram Alpha versucht zu befragen aber
> irgendwie rechnet mir das Program immer nur die
> Stammfunktion von Sinus aus (auch nach
> Variablennamenaenderung.)Wir missverstehen uns irgendwie..
Das missverstehn bezieht sich auuf Dich und Wolfram, vermute ich.
Meine Eingabe zum Integrieren war [mm] :1/((x^a)(1-x))
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:50 Mo 08.06.2015 | | Autor: | Hikari |
Wo steckt denn nun im Indeffekt meine Substututionskonstante z? Ich habe [mm] \frac{-z^{-x}}{x},dort [/mm] habe ich z ja ganz exlizit. Aber wenn ich die Betafunktion nun aufloese, habe ich [mm] \integral_{1}^{0}{u^{-x}(1-u)^{-1} du}
[/mm]
Wie genau steckt da nun meine Substitution drin? In u, in den Grenzen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:57 Mo 08.06.2015 | | Autor: | chrisno |
Ich verstehe Deine Frage nicht. Was meinst Du mit "Betafunktion aufösen"? Außerdem ist der Zusatz "incomplete" wichtig, da die Integralgrenzen nicht 0 und 1 sondern o und x sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:31 Di 09.06.2015 | | Autor: | Hikari |
Was ich mit aufloesse meine, habe ich doch denke ich damit klar gestellt was danach kommt. ( [mm] \integral_{1}^{0}{u^{-x}(1-u)^{-1} du}) [/mm] Wenn du meinst bis x ist es wirklich bis x oder bis z?Ich habe doch [mm] B_z(..)....
[/mm]
Womit dann aber geklaert waere wo meine Integralgrenze steckt....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Di 09.06.2015 | | Autor: | chrisno |
Ich achte im Moment nicht genau auf die Bezeichnungen der Variablen. Das ist nicht gut, weil es zusätzliche Verwirrung stiftet.
Ich verstehe Dein Auflösen immer noch nicht. Du hast ein Integral, das nicht auf "elementare" Funktionen zurückgeführt werden kann. Als Stammfunktion des Integrals wird die "incomplete betafunction" definiert. Nun willst Du diese Funktion wieder durch das Integral darstellen?
Ist Dir der Unterschied zwischen "incomplete betafunction" und "betafunction" klar?
Ich schlage vor, dass Du die Lösung von dem Ausgangsintegral bis zur Darstellung mit der "incomplete betafunction" einmal in vier Zeilen zusammenfasst.
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