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Hallo,
folgendes unbestimmtes Integral soll durch Substitution aufgeleitet werden:
[mm] \integral{x*cos(x^2)dx}
[/mm]
[mm] u=x^2 \Rightarrow \bruch{du}{dx}=2x \Rightarrow dx=\bruch{du}{2x}
[/mm]
Einsetzen in das Integral:
[mm] \integral{x*cos(u)*\bruch{du}{2x}} \Rightarrow \bruch{1}{2}*\integral{cos(u)*du}=\bruch{1}{2}*sin(u)+c
[/mm]
Nach Rücksubstitution erhält man:
[mm] \bruch{1}{2}*sin(x^2)+c
[/mm]
Formal habe ich das ganze verstanden... Aber das Prinzip ist mir nicht ganz klar. Warum wird [mm] x^2 [/mm] differenziert? Gesucht ist doch die Stammfunktion?
LG und besten Dank im Voraus...
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Hallo,
> Hallo,
> folgendes unbestimmtes Integral soll durch Substitution
> aufgeleitet werden:
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> [mm]\integral{x*cos(x^2)dx}[/mm]
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> [mm]u=x^2 \Rightarrow \bruch{du}{dx}=2x \Rightarrow dx=\bruch{du}{2x}[/mm]
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> Einsetzen in das Integral:
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> [mm]\integral{x*cos(u)*\bruch{du}{2x}} \Rightarrow \bruch{1}{2}*\integral{cos(u)*du}=\bruch{1}{2}*sin(u)+c[/mm]
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> Nach Rücksubstitution erhält man:
>
> [mm]\bruch{1}{2}*sin(x^2)+c[/mm]
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> Formal habe ich das ganze verstanden... Aber das Prinzip
> ist mir nicht ganz klar. Warum wird [mm]x^2[/mm] differenziert?
> Gesucht ist doch die Stammfunktion?
Das Problem an der Substitution von Integralen ist, dass da ja ein Intergand ist, der von (mindestens) einer Variablen abhängt. Und dann steht da ja noch ein Differential, welches ja mit dieser Variablen zusammenhängt und welches insbesondere bestimmt, nach welcher Variablen integriert wird.
Ein Integral der Form
[mm] \int{f(u) dx}
[/mm]
würde dir in diesem Zusammenhang doch überhaupt nicht weiterhelfen. Auf der anderen Seite darf auch nicht einfach ein Differential durch ein anderes ersetzt werden. Daher nutzt man die Definition der Ableitung als Differentialquotient
[mm] f'(x)=\bruch{dy}{dx}=\lim_{\Delta{x}\Rightarow{0}}\bruch{\Delta{y}}{\Delta{x}}
[/mm]
aus, um durch Auflösen nach dx eine weitere Substitutionsgleichung für das Differential zu erhalten. Selbstverständlich klappt dies, wie bei der Integralrechnung ja hinlänglich bekannt, nur in besonders geeigneten Fällen.
Gruß, Diophant
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Also lohnt sich das Substituieren nur wenn vor dem integrieren auch alle alten Variablen verschwunden sind?
LG
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> Also lohnt sich das Substituieren nur wenn vor dem
> integrieren auch alle alten Variablen verschwunden sind?
>
> LG
Hi,
ja, nur dann ist es sinnvoll eine Substitution durchzuführen.
Ein Mix aus neuen und alten Variablen wäre unsinnig. Hier gilt das Prinzip: Entweder oder.
Mal ein ganz (!) einfaches Beispiel:
[mm] \int{x^2}dx
[/mm]
Wir wollen hier eine Substition wagen, und zwar: [mm] u(x)=x^2
[/mm]
Dann ist zunächst du=2xdx [mm] \Rightarrow dx=\frac{du(x)}{2x}
[/mm]
Wir setzen das erst einmal ein:
[mm] \int{u(x)}\frac{1}{2x}du(x)
[/mm]
So, Pustekuchen! Wir wollen ja gar kein x mehr haben, denn was soll x schon bedeuten? x und u hängen ja miteinander zusammen, und so kann man x nicht einmal als Konstante behandeln. Wenn du es so willst, kann man auch sagen, dass wir die Skalierung von dem Koordinatensystem geändert haben. Also umso schlimmer, dass da nun zwei Variablen vorhanden sind.
Wir wissen ja aber: [mm] u(x)=x^2, [/mm] also [mm] x=\sqrt{u(x)}
[/mm]
Damit ist das Integral:
[mm] \int{u(x)}\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}du(x)=\frac{1}{2}\int{u(x)^{1/2}}du(x)=\frac{1}{2}\frac{2}{3}*u(x)^{3/2}=\frac{1}{3}u(x)^{3/2}
[/mm]
Rücksubstitution:
[mm] \frac{1}{3}u(x)^{3/2}=\frac{1}{3}x^3
[/mm]
Viel Arbeit für ein einfaches Beispiel. Die Abhängigkeit von x habe ich explizit mal mit dazugeschrieben. Ich denke dadurch fällt das ganze noch viel mehr auf.
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