Integrat.a.Untermannigfaltigk. < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Mi 31.12.2008 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN, S_{+}:=\{ x \in \IR^{n} | ||x|| = 1 und \forall j \in \underline{n} : x_{j} \ge 0\}, \IR_{+}:= \{x \in \IR| x\ge 0\}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass für [mm] p_{1},...,p_{n} \in \IR_{+}gilt:
[/mm]
[mm] \integral_{S_{+}}{x_{1}^{p_{1}}*...*x_{n}^{p_{n}}} [/mm] dS(x) = [mm] \bruch{\Gamma(\bruch{p_{1}+1}{2})*...*\Gamma(\bruch{p_{n}+1}{2})}{2^{n-1}*\Gamma(\bruch{p_{1}+...+p_{n}+n}{2})}
[/mm]
Anleitung: Rechnen Sie [mm] \integral_{(\IR_{+})^{n}}{x_{1}^{p_{1}}*...*x_{n}^{p_{n}}e^{-||x||^{2}}} [/mm] direkt und mit folgendem Satz:
Sei f: [mm] \IR^{n}\to \IR [/mm] eine integrierbare Funktion, [mm] n\ge [/mm] 2. Dann ist für fast alle [mm] r\in \IR_{+}^{*}die [/mm] Funktion f über die Sphäre [mm] K_{r}:=\{x\in \IR^{n}| ||x||=r\} [/mm] integrierbar und es gilt [mm] \integral_{\IR^{n}}{f(x)d^{n}x}=\integral_{0}^{\infty}{(\integral_{K_{r}}{f(x)dS(x)})dr}=\integral_{0}^{\infty}{(\integral_{S^{n-1}}{f(r\xi)dS(\xi)})r^{n-1}dr} [/mm] |
Hallo zusammen,
bei dieser Aufgabe habe ich vollkommen den Überblick verloren. Kann mir hier jemand bei dem Ansatz helfen. Ich habe momentan keine Ahnung wie ich anfangen soll. Vielen Dank schon mal.
Beste Grüße
vicky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Mi 31.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Vicky!
> Sei n [mm]\in \IN, S_{+}:=\{ x \in \IR^{n} | ||x|| = 1 und \forall j \in \underline{n} : x_{j} \ge 0\}, \IR_{+}:= \{x \in \IR| x\ge 0\}.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass für [mm]p_{1},...,p_{n} \in \IR_{+}gilt:[/mm]
>
> [mm]\integral_{S_{+}}{x_{1}^{p_{1}}*...*x_{n}^{p_{n}}}[/mm] dS(x) =
> [mm]\bruch{\Gamma(\bruch{p_{1}+1}{2})*...*\Gamma(\bruch{p_{n}+1}{2})}{2^{n-1}*\Gamma(\bruch{p_{1}+...+p_{n}+n}{2})}[/mm]
>
> Anleitung: Rechnen Sie
> [mm]\integral_{(\IR_{+})^{n}}{x_{1}^{p_{1}}*...*x_{n}^{p_{n}}e^{-||x||^{2}}}[/mm]
> direkt und mit folgendem Satz:
>
> Sei f: [mm]\IR^{n}\to \IR[/mm] eine integrierbare Funktion, [mm]n\ge[/mm] 2.
> Dann ist für fast alle [mm]r\in \IR_{+}^{*}die[/mm] Funktion f über
> die Sphäre [mm]K_{r}:=\{x\in \IR^{n}| ||x||=r\}[/mm] integrierbar
> und es gilt
> [mm]\integral_{\IR^{n}}{f(x)d^{n}x}=\integral_{0}^{\infty}{(\integral_{K_{r}}{f(x)dS(x)})dr}=\integral_{0}^{\infty}{(\integral_{S^{n-1}}{f(r\xi)dS(\xi)})r^{n-1}dr}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> bei dieser Aufgabe habe ich vollkommen den Überblick
> verloren. Kann mir hier jemand bei dem Ansatz helfen. Ich
> habe momentan keine Ahnung wie ich anfangen soll. Vielen
> Dank schon mal.
Idee: $S_+$ ist ein Stück der Oberfläche der n-dimensionalen Einheitskugel, und zwar genau ein [mm] $\bruch{1}{2^n}$-tel: [/mm] für n=2 ein Quadrant, für n=3 ein Oktant, usw. Überlege dir, wie
[mm] \integral_{S_{+}}{x_{1}^{p_{1}}*...*x_{n}^{p_{n}}} dS(x) [/mm]
mit
[mm] \integral_{S^{n-1}}{|x_{1}|^{p_{1}}*...*|x_{n}|^{p_{n}}} dS(x) [/mm]
zusammenhängt, bzw.
[mm] \integral_{(\IR_{+})^{n}}{x_{1}^{p_{1}}*...*x_{n}^{p_{n}}e^{-||x||^{2}}}[/mm]
mit
[mm]\integral_{\IR^{n}}{|x_{1}|^{p_{1}}*...*|x_{n}|^{p_{n}}e^{-||x||^{2}}}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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