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Integralumformung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Mi 20.10.2010
Autor: euli

Aufgabe
Seien $a >0$ konstant und $t>0$. Seien $f$, $g$ und $h$ reelle, stetige und differenzierbare Funktionen von [mm] \mathds{R} [/mm] nach [mm] \mathds{R} [/mm] und $h(0)=0$. Lässt sich der Ausdruck [mm] $a\int_0^t g(f(t-s))\; \frac{d h(s)}{ds}\; [/mm] ds$ umformen in [mm] $A\left( h(t)-\int_0^t \frac{dg}{df}(s)\; h(t-s)\; ds \right)$, [/mm] wobei $A$ zu bestimmen ist und nur von $f$, $t$ und $a$ abhängt?

Ich selber habe es mit partieller Integration und anschließender Substitution probiert, habe es aber nicht hingekriegt. Wäre für eine Antwort, Ideen und Tipps sehr dankbar.

Viele Grüße, euli

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Integralumformung: Nachfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:36 Mi 20.10.2010
Autor: reverend

Hallo euli, nochmal [willkommenmr]

Ich sehe im Moment auch keinen Weg, das so umzuformen. Ist denn über g,f,h noch irgendetwas bekannt?
Sind z.B. g und h gerade oder ungerade Funktionen? Und steht in der Zielform tatsächlich df im Nenner?

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Integralumformung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:46 Do 21.10.2010
Autor: euli

Hallo reverend,

mit [mm] \frac{dg}{df}(s) [/mm] meinte ich [mm] \dot{g}(f(s)) [/mm] bzw. $g'(f(s))$. Ich weiss noch, dass $g(0)=1$ ist. Wenn sich der Ausdruck nicht genau in den 2. Ausdruck umformen lässt, dann genügt mir das auch als Antwort. Allerdings sollte das Integral im 2. Ausdruck genau so aussehen.

Viele Grüße,
Uli

Bezug
        
Bezug
Integralumformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 Do 21.10.2010
Autor: fred97

Mit partieller Integration bekomme ich

[mm] $\int_0^t g(f(t-s))\; \frac{d h(s)}{ds}\; [/mm] ds= h(t)*g(f(0))-h(0)g(f(t))+ [mm] \integral_{0}^{t}{h(s)*g'(f(t-s)) ds}$ [/mm]


Substituiert man im Integral rechts  u=t-s, so erhält man:

[mm] $\int_0^t g(f(t-s))\; \frac{d h(s)}{ds}\; [/mm] ds= [mm] h(t)*g(f(0))-h(0)g(f(t))-\integral_{0}^{t}{h(t-u)*g'(f(u)) du}$ [/mm]


FRED

Bezug
                
Bezug
Integralumformung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 Do 21.10.2010
Autor: euli

Hallo Fred,

danke für die Antwort. Ich glaube aber, es sind ein paar Fehler drin.

1. $g(f(t-s))$ muss bei der partiellen Integration nach $s$ abgeleitet werden, also $ [mm] \int_0^t g(f(t-s))\; \frac{d h(s)}{ds}\; [/mm] ds= [mm] h(t)\cdot{}g(f(0))-h(0)g(f(t))+ \integral_{0}^{t}{h(s)\cdot g'(f(t-s))\cdot f'(t-s)ds} [/mm] $.
2. Bei der anschließenden Substitution müssen die Grenzen mitsubstituiert werden, also ergibt sich [mm] $h(t)\cdot [/mm] g(f(0))-h(0)g(f(t))+ [mm] \integral_{0}^{t}{h(t-u)\cdot g'(f(u))\cdot f'(u)ds} [/mm] $.

Bitte korrigieren, wenn ich falsch liege.

Viele Grüße,
euli

Bezug
                        
Bezug
Integralumformung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:01 Do 21.10.2010
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> danke für die Antwort. Ich glaube aber, es sind ein paar
> Fehler drin.
>  
> 1. [mm]g(f(t-s))[/mm] muss bei der partiellen Integration nach [mm]s[/mm]
> abgeleitet werden, also [mm] \int_0^t g(f(t-s))\; \frac{d h(s)}{ds}\; ds= h(t)\cdot{}g(f(0))-h(0)g(f(t))+ \integral_{0}^{t}{h(s)\cdot g'(f(t-s))\cdot f'(t-s)ds} [/mm].
>  
> 2. Bei der anschließenden Substitution müssen die Grenzen
> mitsubstituiert werden, also ergibt sich [mm]h(t)\cdot g(f(0))-h(0)g(f(t))+ \integral_{0}^{t}{h(t-u)\cdot g'(f(u))\cdot f'(u)ds} [/mm].
>  
> Bitte korrigieren, wenn ich falsch liege.

Du hast recht, da sind mir ein paar "dicke Dinger" geglückt

Gruß FRED

>  
> Viele Grüße,
>  euli


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