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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:31 So 14.08.2005 | | Autor: | searchgirl |
Hallo erstmal,
also ich habe da ein kleines Problem. Ich habe so mal im Internet ein Aufgabe zu Integralrechnung gefunden die mich sehr interessierte. Da ich aber leider noch nicht in der Schule wirklich Integralrechnung hatte, komme ich irgendwie nicht weiter, bei folgender Aufgabe:
Berechne [mm] U_{4} [/mm] und [mm] O_{4} [/mm] sowie [mm] U_{8} [/mm] und [mm] O_{8} [/mm] für die angegebenen Funktionen über dem Intervall I [0;1]
a) f(x) = [mm] 1/2*x^2
[/mm]
b) f(x) = [mm] x^2
[/mm]
Daraus folgend würde sich ja ergeben:
a) [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {1/2*x^2dx}
b) [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {x^2dx}
Aber wie bekomme ich jetzt U und O heraus???? Ich hatte zuerst überlegt ob ich eine zerlegung vornehme, aber ich glaube das haut irgendwie nicht hin. Falls ihr vielleicht weiter wisst, wäre ich euch sehr dankbar wenn ihr zurückschreibt.
schöne grüße
searchgirl
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> Hallo erstmal,
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> also ich habe da ein kleines Problem. Ich habe so mal im
> Internet ein Aufgabe zu Integralrechnung gefunden die mich
> sehr interessierte. Da ich aber leider noch nicht in der
> Schule wirklich Integralrechnung hatte, komme ich irgendwie
> nicht weiter, bei folgender Aufgabe:
> Berechne [mm]U_{4}[/mm] und [mm]O_{4}[/mm] sowie [mm]U_{8}[/mm] und [mm]O_{8}[/mm] für die
> angegebenen Funktionen über dem Intervall I [0;1]
> a) f(x) = [mm]1/2*x^2[/mm]
> b) f(x) = [mm]x^2[/mm]
>
> Daraus folgend würde sich ja ergeben:
> a) [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] {1/2*x^2dx}
> b) [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] {x^2dx}
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> Aber wie bekomme ich jetzt U und O heraus???? Ich hatte
> zuerst überlegt ob ich eine zerlegung vornehme, aber ich
> glaube das haut irgendwie nicht hin. Falls ihr vielleicht
> weiter wisst, wäre ich euch sehr dankbar wenn ihr
> zurückschreibt.
> schöne grüße
Hallo Searchgirl!
Die Aufgabe ist eigentlich viel einfacher, als Du dir vorstellst 
Gesucht ist nämlich nicht das Integral der angegebenen Funktionen, sondern eine Annäherung des Wertes durch Ober- und Untersummen.
Dazu teilst Du das intervall beispielsweise für [mm] U_4 [/mm] in 4 gleiche Teile auf und näherst die Fläche unter der Kurve durch Rechtecke an, deren Unterseiten das Intervall [0,1] in eben diese 4 gleichen Teile zerlegen und die Höhe des Funktionswerts der linken oberen Ecke haben.
Für Obersummen sind die rechten oberen Ecken der Rechtecke eben durch die Funktionswerte am rechten Rand bestimmt.
Dazu kannst Du dir ja mal das Thema  Integral in der MatheBank angucken...
Ist dir das soweit klar geworden?
Wenn nicht, nachfragen!
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 So 14.08.2005 | | Autor: | svenchen |
Zu deiner urspünglichen Frage nochmal:
das was ich da gerechnet habe ist Übirgens [mm] U_{4} [/mm] von AUfgabe a), also die Untersumme mit einer Aufteilung in 4 gleichgroße Rechtecke.
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Hi, searchgirl
Wie weit bist du denn schon in die Materie eingearbeitet? Was ein Integral ist usw. und wo der Unterschied zwischen einem Integral und der Aufgabe, die du stellst liegt, weißt du?
Falls nein: Bei einem Integral berechnest du den exakten Flächeninhalt. Du willst den Flächeninhalt durch das Ausschöpfen mit Rechtecken annähern. Ich zeige dir im Folgendem mal, wie deine Aufgabe aussieht. Dabei habe ich die Fläche mit 4 Rechtecken ausgeschöpft. Je mehr Rechtecke du verwendest, desto genauer kannst du die Fläche ausfüllen und somit ist der Flächeninhalt mit zunehmenden Rechtecken auch genauer.
Aufgabe a)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Obersumme ist die gelbe Fläche + die blaue Fläche. Die Untersumme ist nur die blaue Fläche. Wie du sehen kannst, liegt der ganaue Flächeninhalt der Funktion in dem Intervall von 0 bis 1 genau zwischen der Obersumme und der Untersumme.
Zur Berechnung der Untersumme:
wenn du die Untersumme berechnen willst, ist der Flächeninhalt aller blauer Rechtecke gesucht. Das erste blaue Rechteck hat die Breite 0,25 (Länge des Intervalles geteilt durch Anzahl der Rechtecke). Die Höhe ist gleich dem Funktionswert an der Stelle 0,25. Also: f(0,25) = 0,03125. Die Fläche des Rechtecks ist demnach 0,03125x0,25. Wenn du das für alle blauen Rechtecke machst musst du also rechnen:
0,25*f(0,25) + 0,25 * f(0,5) + 0,25* f(0,75) = 0,25 * 0,03125 + 0,25 * 0,125 + 0,25 * 0,28125 = 0,1 = Untersumme.
kannst du das Nachvollziehen? Zur Berechnung der Unersumme musst du also die Fläche aller blauen Rechtecke berechnen, dann addieren. Wenn du das nicht verstehst, frag nach was genau nicht. Ansonsten würd ich sagen:
Versuche mal so, die Obersumme. Ich schaue später nochmal rein,
Sven
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 So 14.08.2005 | | Autor: | searchgirl |
Hallo ihr beiden,
vielen Dank für eure beiden Erklärungen!! Ich werde das gleich mal durch rechnen, vielen Dank nochmal!
Schöne grüße
searchgirl
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:44 So 14.08.2005 | | Autor: | searchgirl |
So ihr beiden,
ich habe das ganze jetzt mal durchgerechnet und habe rausbekommen:
für f(x) = [mm] 1/2*x^2
[/mm]
[mm] U_{4} [/mm] = 0,1
[mm] O_{4} [/mm] = 0,78125
[mm] U_{8} [/mm] = 0,19921875
[mm] O_{8} [/mm] = 0,1265625
und für f(x) = [mm] x^2
[/mm]
[mm] U_{4} [/mm] = 0,46875
[mm] O_{4} [/mm] = 1,5625
[mm] U_{8} [/mm] = 0,3984375
[mm] O_{8} [/mm] = 2,53125
Falls ihr andere Ergebnisse oder die gleichen habt, sagt mir bitte bescheid.
schöne grüße
searchgirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 So 14.08.2005 | | Autor: | svenchen |
kannst du vielleicht die rechnung mitschicken ;)
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Hey
also, wir mir gerade aufgefallen ist habe ich einen kleinen Fehler gemacht und korrigiere in jetzt mal schnell: hier also meine rechnung und die neuen Ergebnisse:
a) [mm] O_{4}= [/mm] f(0,25)*0,25 +f(0,5)*0,5 +f(0,75)*0,75 = 0,28
[mm] U_{8} [/mm] = f(0,125)*0,125+ f(0,25)*0,125+ f(0,375)*0,125+ f(0,5)*0,125+
f(0,625)*0,125+ f(0,75)*0,125+ f(0,875)*0,125= 1,07
[mm] O_{8} [/mm] = f(0,125)*0,125+ f(0,25)*0,25+ f(0,375)*0,375+ f(0,5)*0,5+
f(0,625)*0,625+ f(0,75)*0,75+ f(0,875)*0,875= 0,76
für b) für [mm] U_{4} [/mm] = 0,21875
für [mm] O_{4} [/mm] = 0,5625
für [mm] U_{8} [/mm] = 0,2734
für [mm] O_{8} [/mm] = 1,53125
Aber im Moment bin ich ganz schön durcheinander gekommen mit den Zahlen, also es kann sein dass die Ergebnisse nicht ganz richtig sind.
schöne grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 So 14.08.2005 | | Autor: | svenchen |
bleiben wir mal beim Beispiel [mm] O_{4} [/mm] von Aufgabenteil a)
Wir betreachten die Obersumme (gelb und blau bei meinem Bild von eben als eine Fläche betrachten)
Es heißt ja so:
Fläche von Rechteck 1 + Fläche von Rechteck 2 + Fläche von Rechteck 3 +Fläche von Rechteck 4 = Obersumme
Die Breite der Rechtecke ist IMMEER gleich groß, nämlich 1/4 = 0,25. Die Höhe varriert, da die Rechtecke immer größer werden. (siehe Bild)
Du schreibst:
f(0,25)* 0,25 +f(0,5)* 0,5 +f(0,75)* 0,75 = 0,28
Aber die Breite bei allen Rechtecken ist doch gleich. Sie sind wie gesagt immer 0,25 breit. Es heißt also erstmal:
f(0,25)* 0,25 (Rechteck 1)+f(0,5)* 0,25 ( Rechteck 2)+f(0,75)* 0,25 (Rechteck 3)
aber wo bleibt das vierte Rechteck? Das hast du vergessen. du musst dazu also noch addieren:
f(1)*0,25.
insgesammt also:
[mm] O_{4} [/mm] = f(0,25)* 0,25 ( Rechteck 1)+f(0,5)* 0,25 (Rechteck 2)+f(0,75)* 0,25 (Rechteck 3) + f(1)* 0,25 (Rechteck 4) = 0,23
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Mo 15.08.2005 | | Autor: | searchgirl |
Hallo nochmal,
danke ihr beiden für eure Antworten.
schöne grüße
searchgirl
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