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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Di 19.05.2015 | | Autor: | JXner |
Ich stehe vor folgendem Verständnis Problem:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{5x}{2-3x^2} dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{-5}{6} \integral_{}^{}{\bruch{-6x}{2-3x^2} dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{-5}{6} ln|2-3x^2|
[/mm]
In der vorliegenden Musterlösung fällt es mir schwer den letzten Schritt zu begreifen.
Ich wäre euch sehr Dankbar, wenn Ihr mir eine ausführliche Erklärung geben könntet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:42 Di 19.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich stehe vor folgendem Verständnis Problem:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{5x}{2-3x^2} dx}[/mm] = [mm]\bruch{-5}{6} \integral_{}^{}{\bruch{-6x}{2-3x^2} dx}[/mm]
dort wurde i.W. nur [mm] $\int c*f(x)dx=c*\int [/mm] f(x)dx$ verwendet [mm] ($c\,$ [/mm] ist eine von [mm] $x\,$ [/mm] unabhängige Konstante).
Da Du unten auch nicht davon sprichst, gehe ich davon aus, dass Dir dieser
Schritt klar ist!
> = [mm]\bruch{-5}{6} ln|2-3x^2|[/mm]
>
> In der vorliegenden Musterlösung fällt es mir schwer den
> letzten Schritt zu begreifen.
Grob: Wenn im Zähler die Ableitung des Nenners steht, weiß man, dass [mm] $\ln(|\text{Nenner}|)$ [/mm] EINE
Stammfunktion ist.
Grobe Herleitung: Bei [mm] $\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx$ [/mm] substituiere man [mm] $u=f(x)\,,$ [/mm] dann ist [mm] $du=f\,'(x)dx$ [/mm]
und daher mit
[mm] $\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\int \underbrace{\frac{1}{f(x)}}_{=\frac{1}{u}}\;\underbrace{f\,'(x)dx}_{=du}=\int \frac{1}{u}du=\ln(|u|)$ [/mm]
und mit der Rücksubstitution $u=f(x)$ alsdann
[mm] $...=\ln(|\,f(x)\,|)$ [/mm]
> Ich wäre euch sehr Dankbar, wenn Ihr mir eine
> ausführliche Erklärung geben könntet.
Wenn Du die allgemeine Herleitung an Deiner Aufgabe nochmal selbst
beispielhaft nachvollziehen willst, dann setze [mm] $u=2-3*x^2\,,$ [/mm] dann ist
$du=(-6x)dx$ und daher
$blabla* [mm] \integral_{}^{}{\bruch{-6x}{2-3x^2} dx}=blabla* \int \frac{1}{2-3x^2}\;(-6x)dx=blabla*\int \frac{1}{u}du=...$
[/mm]
mit $blabla=-5/6$.
Gruß,
Marcel
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