Integralrechnung Zwischensumme < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 So 29.05.2011 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Ich soll für die folgenden Funktionen die Zwischensummen berechnen [mm] \summe_{k=1}^{n}f(Xik)(xk-xk-1) [/mm] mit Xi meine ich den grieschischen Buchstaben
[mm] f(x)=x^3 ,{x0,....,x6}={0,\bruch{1}{2},1,\bruch{3}{2},2,\bruch{5}{2},3} [/mm] und Xik=xk-1 für k=1,....,6
Ich glaube die Aufgabe ist recht einfach aber ich weiß nicht wo ich was einsetzen soll
Könnt ihr mir vl helfen
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> Hallo,
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> Ich soll für die folgenden Funktionen die Zwischensummen
> berechnen [mm]\summe_{k=1}^{n}f(Xik)(xk-xk-1)[/mm] mit Xi meine
> ich den grieschischen Buchstaben
>
> [mm]f(x)=x^3\quad ,\quad {x0,....,x6}\ =\ {0,\bruch{1}{2},1,\bruch{3}{2},2,\bruch{5}{2},3}[/mm]
> und Xik=xk-1 für k=1,....,6
>
> Ich glaube die Aufgabe ist recht einfach aber ich weiß
> nicht wo ich was einsetzen soll
Na, schreiben wir das mal etwas leserlicher:
[mm]\summe_{k=1}^{n}f(\xi_k)*(x_k-x_{k-1})[/mm]
[mm] x_k=\frac{k}{2} [/mm] für [mm] k\in\{\,0,1,2,3,4,5,6\,\}
[/mm]
[mm] \xi_k=x_{k-1}=\frac{k-1}{2} [/mm] für [mm] k\in\{\,1,2,3,4,5,6\,\}
[/mm]
(klick auf die Formeln, um zu sehen, wie man sie schreibt !)
Nun versuch mal konsequent alles Bekannte einzusetzen.
Natürlich soll hier n=6 sein. Alle Teilintervalle haben die
gleiche Breite, die man dann aus der Summe ausklammern
kann, und natürlich ist [mm] f(\xi_k)={\xi_k}^3 [/mm] .
Nachher bleibt die Frage, wie man die entstandene Summe
durch eine geschlossene Formel erfassen kann.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 So 29.05.2011 | | Autor: | racy90 |
mhmm ich hab jetzt einfach stur eingesetzt
bin dann auf die teilsummen gekommen 0+0,25+0,5+0,75+1+1,25
weil die $ [mm] \xi_k=x_{k-1}=\frac{k-1}{2} [/mm] $ ja nicht bei 0 starten kann ich mir nicht die anderen :$ [mm] x_k=\frac{k}{2} [/mm] $ bis 6 berechnen
das ist glaub ich nicht richtig was ich getan habe :/
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> mhmm ich hab jetzt einfach stur eingesetzt
>
> bin dann auf die teilsummen gekommen
> 0+0,25+0,5+0,75+1+1,25
>
> weil die [mm]\xi_k=x_{k-1}=\frac{k-1}{2}[/mm] ja nicht bei 0 starten
Doch, es ist natürlich [mm] \xi_1=0 [/mm] , und damit wird der erste
Summand der Summe einfach auch gleich null.
> kann ich mir nicht die anderen :[mm] x_k=\frac{k}{2}[/mm] bis 6
> berechnen
>
> das ist glaub ich nicht richtig was ich getan habe :/
Betrachten wir in der gesuchten Summe
[mm] $\summe_{k=1}^{n}f(\xi_k)\cdot{}(x_k-x_{k-1}) [/mm] $
als Beispiel nur einmal den Summanden für k=4 :
$\ [mm] f(\xi_4)\cdot{}(x_4-x_{4-1})\ [/mm] =\ f(1.5)*(2-1.5)\ =\ [mm] 1.5^3*0.5 [/mm] $
Eigentlich würde man aber alles besser mit Brüchen
statt Dezimalzahlen schreiben:
[mm] $\summe_{k=1}^{n}f(\xi_k)\cdot{}(x_k-x_{k-1}) [/mm] $
$\ =\ [mm] \summe_{k=1}^{6}\left(\frac{k-1}{2}\right)^3*\frac{1}{2} [/mm] $
$\ =\ [mm] \frac{1}{2}*\summe_{j=0}^{5}\left(\frac{j}{2}\right)^3 [/mm] $
$\ =\ [mm] \frac{1}{16}*\summe_{j=0}^{5}j^3 [/mm] $
$\ =\ [mm] \frac{1}{16}*\summe_{j=1}^{5}j^3 [/mm] $
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 So 29.05.2011 | | Autor: | racy90 |
>
> [mm]\ =\ \summe_{k=1}^{6}\left(\frac{k-1}{2}\right)^3*\frac{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\ =\ \frac{1}{2}*\summe_{j=0}^{5}\left(\frac{j}{2}\right)^3[/mm] den Schritt verstehe ich noch aber aber warum steht beim nächsten Schritt 1/16 und beim letzten ändert sich dann der Index?
>
> [mm]\ =\ \frac{1}{16}*\summe_{j=0}^{5}j^3[/mm]
>
> [mm]\ =\ \frac{1}{16}*\summe_{j=1}^{5}j^3[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 So 29.05.2011 | | Autor: | M.Rex |
Es gilt:
[mm] \frac{1}{2}\cdot{}\summe_{j=0}^{5}\left(\frac{j}{2}\right)^3 [/mm]
[mm] =\frac{1}{2}\cdot{}\summe_{j=0}^{5}\frac{j^{3}}{2^{3}} [/mm]
[mm] =\frac{1}{2}\cdot{}\summe_{j=0}^{5}\frac{1}{8}j^{3} [/mm]
[mm] =\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{8}\summe_{j=0}^{5}j^{3} [/mm]
[mm] =\frac{1}{16}\cdot{}\left[\left(\summe_{j=0}^{0}j^{3}\right)+\left(\summe_{j=0}^{5}j^{3}\right)\right] [/mm]
Jetzt betrachte den ersten Summenterm mal scharf, dann solltest du auf das Ergebnis kommen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 So 29.05.2011 | | Autor: | racy90 |
okay danke
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> Es gilt:
>
> [mm]\frac{1}{2}\cdot{}\summe_{j=0}^{5}\left(\frac{j}{2}\right)^3[/mm]
> [mm]=\frac{1}{2}\cdot{}\summe_{j=0}^{5}\frac{j^{3}}{2^{3}}[/mm]
> [mm]=\frac{1}{2}\cdot{}\summe_{j=0}^{5}\frac{1}{8}j^{3}[/mm]
> [mm]=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{8}\summe_{j=0}^{5}j^{3}[/mm]
> [mm]=\frac{1}{16}\cdot{}\left[\left(\summe_{j=0}^{0}j^{3}\right)+\left(\summe_{\red{j=0}}^{5}j^{3}\right)\right][/mm]
Der letzte Ausdruck ist zwar (in diesem speziellen
Fall) nicht wirklich falsch, aber eigentlich sollte
er doch so lauten:
[mm]\frac{1}{16}\cdot{}\left[\left(\summe_{j=0}^{0}j^{3}\right)+\left(\summe_{\blue{j=1}}^{5}j^{3}\right)\right][/mm]
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:46 Mo 30.05.2011 | | Autor: | M.Rex |
> > Es gilt:
> >
> >
> [mm]\frac{1}{2}\cdot{}\summe_{j=0}^{5}\left(\frac{j}{2}\right)^3[/mm]
> > [mm]=\frac{1}{2}\cdot{}\summe_{j=0}^{5}\frac{j^{3}}{2^{3}}[/mm]
> > [mm]=\frac{1}{2}\cdot{}\summe_{j=0}^{5}\frac{1}{8}j^{3}[/mm]
> > [mm]=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{8}\summe_{j=0}^{5}j^{3}[/mm]
> >
> [mm]=\frac{1}{16}\cdot{}\left[\left(\summe_{j=0}^{0}j^{3}\right)+\left(\summe_{\red{j=0}}^{5}j^{3}\right)\right][/mm]
>
> Der letzte Ausdruck ist zwar (in diesem speziellen
> Fall) nicht wirklich falsch, aber eigentlich sollte
> er doch so lauten:
>
> [mm]\frac{1}{16}\cdot{}\left[\left(\summe_{j=0}^{0}j^{3}\right)+\left(\summe_{\blue{j=1}}^{5}j^{3}\right)\right][/mm]
>
> LG Al
Hallo Al-Chwarizmi
Du hast (natürlich) Recht, so sollte es sein.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Di 31.05.2011 | | Autor: | racy90 |
Hallo nochmal
Ich habe so ein ähnliches Bsp wie gestern,komme aber grad nicht weiter
diesesmal lautet die Funktion g(x)=xsinx ,
[mm] {x0,...,x4}={0,\bruch{\pi}{4},\bruch{\pi}{2},\bruch{\3pi}{4},\pi}
[/mm]
[mm] \xi_k=x_{k} [/mm] für k=1,....,4
[mm] x_{k} [/mm] müste [mm] k*\bruch{\pi}{4} [/mm] sein
habe es dann versucht wie oben zu lösen aber das klappt nicht so recht
[mm] \summe_{k=1}^{4}k*\bruch{\pi}{4} [/mm] weiter bin ich allein leider nicht gekommen
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> Hallo nochmal
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> Ich habe so ein ähnliches Bsp wie gestern,komme aber grad
> nicht weiter
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> diesesmal lautet die Funktion g(x)=x*sinx ,
>
> [mm]{x0,...,x4}={0,\bruch{\pi}{4},\bruch{\pi}{2},\bruch{3\,\pi}{4},\pi}[/mm]
>
> [mm]\xi_k=x_{k}[/mm] für k=1,....,4
>
> [mm]x_{k}[/mm] müste [mm]k*\bruch{\pi}{4}[/mm] sein ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> habe es dann versucht wie oben zu lösen aber das klappt
> nicht so recht
>
> [mm]\summe_{k=1}^{4}k*\bruch{\pi}{4}[/mm] weiter bin ich allein
> leider nicht gekommen
Du musst doch wieder die Funktionswerte benützen und
in die gesamte Formel einsetzen:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n}g(\xi_k)*\underbrace{(x_k-x_{k-1})}_{\bruch{\pi}{4}}\quad [/mm] =\ \ [mm] \bruch{\pi}{4}*\summe_{k=1}^{n}g(\xi_k) [/mm] $
mit $\ [mm] g(\xi_k)\ [/mm] =\ [mm] \xi_k*sin(\xi_k)$ [/mm] und $\ [mm] \xi_k\ [/mm] =\ [mm] k*\bruch{\pi}{4}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Di 31.05.2011 | | Autor: | racy90 |
also ist ergebnis: [mm] \bruch{\pi}{4}\summe_{k=1}^{n}\bruch{k\pi}{4}sin(\bruch{k\pi}{4})
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Di 31.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> also ist ergebnis:
> [mm]\bruch{\pi}{4}\summe_{k=1}^{n}\bruch{k\pi}{4}sin(\bruch{k\pi}{4})[/mm]
Nein, sondern
[mm]\bruch{\pi}{4}\summe_{k=1}^{4}\bruch{k\pi}{4}sin(\bruch{k\pi}{4})[/mm]
Mach Dich mal schlau über
[mm] sin(\bruch{\pi}{4})= [/mm] ? , [mm] sin(\bruch{\pi}{2})= [/mm] ?, [mm] sin(\bruch{3\pi}{4})=?, sin(\pi)= [/mm] ?
FRED
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