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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Do 01.09.2005 | | Autor: | sonic444 |
hallo zusammen,
wie löse ich am besten folgendes integral?
[mm] \integral_{}^{} [/mm] { [mm] \bruch{3x³+10x²+19x+29}{x²+x+4} [/mm] dx}
habe es mit polynomdivision probiert und bekomme dann:
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {3x dx}+ [mm] \integral_{}^{} [/mm] {7 dx}+ [mm] \integral_{}^{} [/mm] { [mm] \bruch{1}{x²+x+4} [/mm] dx}
das letzte integral zu lösen finde ich allerdings nicht so wirklich einfach.
hatte hier auch schon mal gefrage wie man das letzte integral löst.
gibt einen anderen weg und wenn welchen?
finde keinen ansatz für einen anderen weg.
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
danke!
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Hallo Sonic,
das finde ich scho ganz schön schwer für den 13. Jahrgang!
> habe es mit polynomdivision probiert und bekomme dann:
> [mm]\integral_{}^{}{3x dx}+ \integral_{}^{} {7 dx}+ \integral_{}^{}{\bruch{1}{x²+x+4}dx}[/mm]
Ich habe das nicht nachgeprüft und glaube Dir, dass es so stimmt.
> das letzte integral zu lösen finde ich allerdings nicht so
> wirklich einfach.
Du bringst die Nenner-Parabel n(x) auf Scheitelpunktform:
n(x) = (x+1/2)² + 15/4 = x²+x+4
und substituierst x+1/2 durch z: dann ist dz = dx (beim Ableiten fällt das 1/2 weg). Jetzt heißt das von Dir gesuchte Integral
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{z²+15/4}dz}[/mm]
das hat jetzt die allgemeine Form
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{z²+a²}dz} = \bruch{1}{a} \arctan{(\bruch{z}{a})} + C[/mm] , mit Integrationskonstante C,
die ich auch lieber in einer Formelsammlung nachschlage (z.B. im Bronnstein).
arctan ist dasselbe wie [mm] tan^{-1} [/mm] oder INV-tan.
Jetzt substituierst Du z = x + 1/2 zurück und a = [mm] \wurzel{15}/2, [/mm] und das war's...
Ich würde das Integral aber lieber numerisch lösen, also mit dem Rechner, wenn Du ein konkretes Ergebnis brauchst!
Grüße, Richard
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