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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Di 30.11.2010 | | Autor: | Vertax |
| Aufgabe | Man berechne das unbestimmte Integral a) [mm] \integral_{a}^{b}{e^{-x}*sin(p*x) dx} [/mm] und b) [mm] \integral_{a}^{b}{e^{-x}*cos(p*x) dx} [/mm] mit Hilfe von :
[mm] \integral_{a}^{b}{e^{-x}*e^{j*p*x} dx} [/mm] für alle reellen Zahlen p. |
Kann mir hier mal bitte jemand mit helfen, irgendwie habe ich in meinen Unterlagen kein Beispiel zu Aufgaben dieser Art.
wir hatten zwar Integrale von sin*sin aber keine mit e^irgendwas * sin
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Hallo Vertax,
> Man berechne das unbestimmte Integral a)
> [mm]\integral_{a}^{b}{e^{-x}*sin(p*x) dx}[/mm] und b)
> [mm]\integral_{a}^{b}{e^{-x}*cos(p*x) dx}[/mm] mit Hilfe von :
> [mm]\integral_{a}^{b}{e^{-x}*e^{j*p*x} dx}[/mm] für alle reellen
> Zahlen p.
> Kann mir hier mal bitte jemand mit helfen, irgendwie habe
> ich in meinen Unterlagen kein Beispiel zu Aufgaben dieser
> Art.
>
> wir hatten zwar Integrale von sin*sin aber keine mit
> e^irgendwas * sin
Mit dem Hinweis kannst Du das einfach berechnen:
[mm]\integral_{a}^{b}{e^{-x}*e^{j*p*x} dx}=\integral_{a}^{b}{e^{\left(-1+j*p\right)*x} \ dx}[/mm]
Und das rechtsstehende Integral kannst Du mit Sicherheit berechnen.
Der Real-und Imaginärteil dieses Integrals ist
auch Lösung der zugehörigen reellen Integrale.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Di 30.11.2010 | | Autor: | Vertax |
Mhh also [mm] \integral_{a}^{b}{e^{-x}\cdot{}e^{j\cdot{}p\cdot{}x} dx}=\integral_{a}^{b}{e^{\left(-1+j\cdot{}p\right)\cdot{}x} \ dx} [/mm] verstehe ich ja, ich verstehe nur nicht wo hier der bezug zu a) und b) liegt
weil [mm] \integral_{a}^{b}{e^{-x}\cdot{}e^{j\cdot{}p\cdot{}x} dx}=\integral_{a}^{b}{e^{\left(-1+j\cdot{}p\right)\cdot{}x} \ dx} [/mm] ist ja ein anderes Integral als a) oder b).
Ok hier erstmal das ausgrechnete Integral:
[mm] \bruch{e^{jpx-x}}{jp-1}+c
[/mm]
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Hallo Vertax,
> Mhh also
> [mm]\integral_{a}^{b}{e^{-x}\cdot{}e^{j\cdot{}p\cdot{}x} dx}=\integral_{a}^{b}{e^{\left(-1+j\cdot{}p\right)\cdot{}x} \ dx}[/mm]
> verstehe ich ja, ich verstehe nur nicht wo hier der bezug
> zu a) und b) liegt
Nun, es gilt:
[mm]e^{jpx}=\cos\left(p*x\right)+j*\sin\left(p*x\right)[/mm]
Damit wird
[mm]\integral_{}^{}{e^{-x}e^{jpx}\ dx}=\integral_{}^{}{e^{-x}*\left( \ \cos\left(p*x\right)+j*\sin\left(p*x\right) \ \right) \ dx}[/mm]
[mm]=\integral_{}^{}{e^{-x}* \cos\left(p*x\right) \ dx}+j*\integral_{}^{}{e^{-x}* \sin\left(p*x\right) \ dx}[/mm]
>
> weil [mm]\integral_{a}^{b}{e^{-x}\cdot{}e^{j\cdot{}p\cdot{}x} dx}=\integral_{a}^{b}{e^{\left(-1+j\cdot{}p\right)\cdot{}x} \ dx}[/mm]
> ist ja ein anderes Integral als a) oder b).
>
> Ok hier erstmal das ausgrechnete Integral:
>
> [mm]\bruch{e^{jpx-x}}{jp-1}+c[/mm]
>
Ok, das ist richtig.
Jetzt noch den Nenner rational machen, und die Identität
[mm]e^{jpx}=\cos\left(p*x\right)+j*\sin\left(p*x\right)[/mm]
anwenden, ausmutltiplizieren und Real- und Imaginärteil bestimmen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Di 30.11.2010 | | Autor: | Vertax |
Ok erstmal kunjugierter nenner erweiter:
[mm] \bruch{(e^{jpx-x})(jp+1)}{-p^2-1}
[/mm]
So wie sieht es nun aus wenn ich die Identität einsetze?
So?
[mm] \bruch{(\cos\left(p\cdot{}x\right)+j\cdot{}\sin\left(p\cdot{}x\right) )(jp+1)}{-p^2-1}
[/mm]
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Hallo Vertax,
> Ok erstmal kunjugierter nenner erweiter:
>
> [mm]\bruch{(e^{jpx-x})(jp+1)}{-p^2-1}[/mm]
>
> So wie sieht es nun aus wenn ich die Identität einsetze?
> So?
>
> [mm]\bruch{(\cos\left(p\cdot{}x\right)+j\cdot{}\sin\left(p\cdot{}x\right) )(jp+1)}{-p^2-1}[/mm]
Hier steht noch ein [mm]e^{-x}[/mm] davor:
[mm]e^{-x}\bruch{(\cos\left(p\cdot{}x\right)+j\cdot{}\sin\left(p\cdot{}x\right) )(jp+1)}{-p^2-1}[/mm]
Multipliziere dies jetzt aus, und trenne das nach Real- und Imaginärteil.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 Di 30.11.2010 | | Autor: | Calli |
> Man berechne das unbestimmte Integral a)
> [mm]\integral_{a}^{b}{e^{-x}*sin(p*x) dx}[/mm] und b)
> [mm]\integral_{a}^{b}{e^{-x}*cos(p*x) dx}[/mm] mit Hilfe von :
> [mm]\integral_{a}^{b}{e^{-x}*e^{j*p*x} dx}[/mm] für alle reellen
> Zahlen p.
Wieso unbestimmte Integrale, wenn die Grenzen a und b angegeben sind ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Di 30.11.2010 | | Autor: | Vertax |
Weil ich das Vorgefertigte Integral genommenhabe unter eingabehilfe
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