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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Fr 06.08.2010 | | Autor: | Dust |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Fläche, die von den Graphen der Funktionen [mm] f(x)= - \bruch{1} {9} x^4 +14 [/mm] und [mm]g(x)=(x^2-4) [/mm] eingeschlossen wird. |
Hallo
Gleichsetzen der beiden Terme.
[mm] f(x)=g(x) [/mm]
[mm] - \bruch{1} {9} x^4+14 = (x^2-4) [/mm]
[mm] 0= (x^2-4)- (- \bruch{1} {9} x^4+14) [/mm]
[mm] 0= \bruch{1} {9} x^4 + x^2 - 18 [/mm]
Ich suche die Integrationsgrenzen:
[mm] \bruch{1} {9} x^4 + x^2 - 18=0 [/mm] | [mm] : \bruch{1} {9} [/mm]
[mm] x^4 + 9x^2 -162 =0 [/mm] | Substitution
[mm] u^2 + 9u - 162 =0 [/mm]
Ergebnis der quadratischen Gleichung
[mm] x_1,_2 = -4,5_-^+\wurzel{182,25} [/mm]
[mm] x_1 = - 4,5 + 13,5 = 9 [/mm]
[mm] x_2 = -4,5 - 13,5 = -18 [/mm]
Die Werte für [mm] x_0 [/mm] die die Ausgangsgleichung
[mm] x^4+9x^2-162=0 [/mm] erfüllen erhalte ich durch die Lösung der
beiden Gleichungen [mm] x_0^2 =9 [/mm] und [mm] x_0^2=-18 [/mm]
indem ich die Ersetzung [mm] u=x^2 [/mm] rückgängig mache.
Da man aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann bleibt noch
[mm] x_0^2=9 [/mm] übrig.
Damit ist [mm] x_0= 3 [/mm] und [mm] x_0=-3 [/mm]
Dann ist :
[mm] \integral_{-3}^{3} \left( g(x)-f(x)\right ), dx [/mm]
Damit sind die Integrationsgerenzen eindeutig festgelegt ?
Vielen Dank schon mal im Vorraus.
Gruss Dust
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Hallo, bis jetzt ist alles korrekt, Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Fr 06.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Du hast die beiden Schnittstellen zwar richtig berechnet, jedoch empfehle ich dir die Fkt'en zunächst zu skizzieren.
Die Berechnung des Integrals $ [mm] \integral_{-3}^{3} [/mm] g(x)-f(x) dx $ führt jedenfalls noch nicht zum gesuchten Flächeninhalt. Zudem solltest du entweder Beträge setzen, also $ [mm] \integral_{-3}^{3} [/mm] | g(x)-f(x) | dx $ bestimmen oder dir zusätzlich überlegen, welche der Funktionen die größere im betrachteten Intervall ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Fr 06.08.2010 | | Autor: | Dust |
Hallo,
[mm] \integral_{-3}^{3} | (g(x) - f(x)) | \ dx [/mm]
[mm] \integral_{-3}^{3} | (x^2-4) - ( - \bruch{1} {9} x^4 + 14 ) | \ dx [/mm]
[mm] \integral_{-3}^{3} | ( \bruch{1} {9} x^4 +x^2 - 18) | \ dx [/mm]
Bilden der Stammfunktion:
[mm] \integral_{-3}^{3} | \left[ \bruch{1} {9} * \bruch{x^5} {5} + \bruch{x^3} {3} -18x \right]_{-3}^3 | [/mm]
[mm] = | \left( \bruch{1} {9} * \bruch{3^5} {5} + \bruch{3^3} {3}-18*3 \right) - \left( \bruch{1} {9}* \bruch{-3^5} {5} + \bruch{-3} {3} - 18*-3 \right) |[/mm]
[mm] = |-39,6 | + |39,6| [/mm]
[mm] = 79,2 [/mm]
Die Maßzahl beträgt 79,2
Aus den Graphen ist ersichtlich, dass die Integrationsgrenzen stimmen.
Vielen Dank für euere Hilfe
Gruss Dust
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Hallo, 79,2 ist erneut korrekt, schreibe besser [mm] |\integral_{-3}^{3}(g(x)-f(x))dx| [/mm] Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Fr 06.08.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dust!
Das Endergebnis sowie Deine Berechnung stimmen. Dennoch ein paar Anmerkungen.
> [mm]= | \left( \bruch{1} {9} * \bruch{3^5} {5} + \bruch{3^3} {3}-18*3 \right) - \left( \bruch{1} {9}* \bruch{-3^5} {5} + \bruch{-3} {3} - 18*-3 \right) |[/mm]
Hier fehlt im hinteren Teil ein Exponent mit [mm] $(...)^{\red{3}}$ [/mm] .
Wichtiger sind hier jedoch die fehlenden Klammern, welche Du jeweils um $-3_$ setzen musst, z.B.: [mm] $\red{(}-3\red{)}^5$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 Fr 06.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Ich hab's mal gelöscht, bevor es jemanden verwirrt.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:41 Fr 06.08.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dester!
> Für [mm]\integral_{-3}^{3} | g(x) - f(x)) | \ dx[/mm] erhälst du
> nicht die komplette Fläche zwischen den Kurven,
Das stimmt nicht.
> da g zwischen -2 und +2 unterhalb der x-Achse verläuft.
Das macht nichts, wenn man die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen ermitteln will.
> Das heißt du musst das Integral splitten:
Das ist unnötig.
> [mm]\integral_{-3}^{-2} | g(x) - f(x) | \ dx + \integral_{-2}^{2} |g(x) - f(x)| \ dx + \integral_{2}^{3} | (g(x) - f(x) | \ dx[/mm]
Wie lautet denn Dein Ergebnis? Und dann vergleiche mit dem o.g. Wert!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Fr 06.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Das war natürlich nicht weit genug gedacht von mir, sorry.
In dem Fall ist ja über das gesamte Intervall g oberhalb von f, so dass wir nicht splitten müssen. Erst wenn wir bspw. von -4 bis -2 integrieren, wäre das nötig.
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