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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Mi 02.09.2009 | | Autor: | splin |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgende Integrale:
[mm] a)\integral\bruch{dx}{1+4x^2}
[/mm]
b) [mm] \integral \wurzel{2x+3}dx
[/mm]
c) [mm] \integral [/mm] e^cosx sinx dx
d) [mm] \integral_{1}^{\infty} \bruch{dx}{x(1+x^2)} [/mm] |
Rechne gerade Altklausuraufgaben und habe leider keine richtige Lösungen.
[mm] a)\integral\bruch{dx}{1+4x^2} [/mm] = [mm] ln(1+4x^2) [/mm] geht das so ? (einfach die Beziehung [mm] \integral \bruch{1}{x}dx [/mm] = lnx nutzen)
wenn ja wäre es schonals endgültige Lösung richtig?
und wenn es ein uneigentliche wäre es geht dann doch gegen unendlich oder ?
b) [mm] \integral \wurzel{2x+3}dx [/mm]
Substitution mit z= 2x+3 --> dz/2 = dx
einsetzen
--> [mm] \integral \bruch{\wurzel {z}}{2} [/mm] dz
--> [mm] \bruch {\wurzel{z}}{3}
[/mm]
Rücksubstitution ergibt:
[mm] \bruch {\wurzel{2x+3}}{3}
[/mm]
c) habe ich versucht mit der partiellen Integration zu lösen nun der Ausdrück wurde noch komplizierter.
[mm] d)\integral_{1}^{\infty} \bruch{dx}{x(1+x^2)}
[/mm]
hier habe ich mit z=lnx substituiert
so kommt dz= dx*1/x
eingesetzt:
[mm] \integral \bruch{1}{1+x^2}dz
[/mm]
und mit durch die Rücksubstitution erhalten arctan(lnx) +c
Geht der Gesamtwert des integrals gegen [mm] \pi/2, [/mm] da lnx nur positiv. Stimmt so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Mi 02.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo splin!
Bilde doch mal die Ableitung Deiner vermeintlichen Stammfunktion. Kommt hier wieder die ursprüngliche Funktion heraus?
Forme um wie folgt:
[mm] $$\bruch{1}{1+4x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1+2^2*x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1+(2*x)^2}$$
[/mm]
Nun $z \ := \ 2*x$ substituieren.
Kennst Du die Stammfunktion zu [mm] $\integral{\bruch{1}{1+z^2} \ dz}$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Mi 02.09.2009 | | Autor: | splin |
>
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> Bilde doch mal die Ableitung Deiner vermeintlichen
> Stammfunktion. Kommt hier wieder die ursprüngliche
> Funktion heraus?
>
>
> Forme um wie folgt:
> [mm]\bruch{1}{1+4x^2} \ = \ \bruch{1}{1+2^2*x^2} \ = \ \bruch{1}{1+(2*x)^2}[/mm]
>
> Nun [mm]z \ := \ 2*x[/mm] substituieren.
>
> Kennst Du die Stammfunktion zu [mm]\integral{\bruch{1}{1+z^2} \ dz}[/mm]
> ?
Ja die kenne ich arctanz
und die Lösung wäre arctan(2x) + c
Oder?
>
> Gruß
> Loddar
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Mi 02.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo splin!
Stimmt denn die Probe? Es fehlt hier noch ein Faktor.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Mi 02.09.2009 | | Autor: | splin |
> Hallo splin!
Hallo Loddar
>
> Stimmt denn die Probe? Es fehlt hier noch ein Faktor.
>
Ich finde leider kein Fehler
Die Stammfunktion lautet doch so
[mm] \integral \bruch{1}{1+x^2}dx [/mm] = arctanx +c
Sie wurde wurde uns vorgegeben. Wie mache ich da eine Probe?
> Gruß
> Loddar
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Mi 02.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo splin!
Dann mache doch mal die Probe für [mm] $\arctan(\red{2}*x)$ [/mm] .
Und auch schön an die  Kettenregel denken.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Mi 02.09.2009 | | Autor: | splin |
> Hallo splin!
>
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> Dann mache doch mal die Probe für [mm]\arctan(\red{2}*x)[/mm] .
>
> Und auch schön an die Kettenregel denken.
>
wenn ich es ableite, dann produziere ich noch den Faktor 2 dazu, deswegen ist es falsch.
Ich verstehe leider nicht wo mein Fehler liegt. Ich habe einfach in dem Grundintegral (aus der Integraltafel) die substietuierte Buchstabe ersetzt. Das muss doch richtig sein.
Oder mache ich etwas grundsätzlich falsch?
> Gruß
> Loddar
>
Gruß
Splin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Mi 02.09.2009 | | Autor: | xPae |
Hallo
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{1+(2*x)^{2}} dx}=
[/mm]
u:=2*x
[mm] \bruch{du}{dx}=2 ->dx=\bruch{1}{2}*du
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{1+(u)^{2}}*\bruch{1}{2} du}=\bruch{1}{2}*\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{1+(u)^{2}}du}=...
[/mm]
Gruß xPae
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Mi 02.09.2009 | | Autor: | splin |
> Hallo
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{1+(2*x)^{2}} dx}=[/mm]
>
> u:=2*x
> [mm]\bruch{du}{dx}=2 ->dx=\bruch{1}{2}*du[/mm]
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{1+(u)^{2}}*\bruch{1}{2} du}=\bruch{1}{2}*\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{1+(u)^{2}}du}=...[/mm]
und die richtige Lösung wäre [mm] \bruch{1}{2}arctan{(2x)} [/mm] oder ?
also ich habe vorher den Faktor [mm] \bruch{1}{2} [/mm] vergessen.
> Gruß xPae
Gruß
Splin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Mi 02.09.2009 | | Autor: | xPae |
Hallo,
sehr richtig!
Lg xPae
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Mi 02.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo splin!
Auch hier: führe die Probe über die Ableitung Deiner vermeintlichen Stammfunktion durch.
Wie lautet denn die Stammfunktion zu:
[mm] $$\wurzel{z} [/mm] \ = \ [mm] z^{\bruch{1}{2}}$$
[/mm]
?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mi 02.09.2009 | | Autor: | splin |
> Hallo splin!
>
>
> Auch hier: führe die Probe über die Ableitung Deiner
> vermeintlichen Stammfunktion durch.
>
> Wie lautet denn die Stammfunktion zu:
> [mm]\wurzel{z} \ = \ z^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> ?
$ [mm] \bruch {\wurzel{z^3}}{3} [/mm] $
und die Lösung $ [mm] \bruch {\wurzel{(2x+3)^3}}{3} [/mm] $
> Gruß
> Loddar
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Mi 02.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo splin!
Alte Leier: stimmt die Probe? Führst Du diese auch mal durch?
Auch hier fehlen noch Faktoren, weil Du ...
a.) die Wurzel falsch integriert hast
b.) die Substitution nicht konsequent durchführst.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mi 02.09.2009 | | Autor: | splin |
Also hier ist der komplette Rechenweg für die Teilaufgabe b) :
$ [mm] \integral \wurzel{2x+3}dx [/mm] $
Substitution mit z= 2x+3 --> dz/2 = dx
eingesetzt erhalten:
[mm] \bruch{1}{2} \integral \wurzel{z} [/mm] dz
Integration:
[mm] \bruch{1}{2} *\bruch{2\wurzel{z^3}}{3}
[/mm]
Kürzung:
[mm] \bruch{\wurzel{z^3}}{3}
[/mm]
zurücksubstituiert mit z=2x+3:
[mm] \bruch{\wurzel{(2x+3)^3}}{3}
[/mm]
Ist dieser Lösungsweg komplett und richtig ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Mi 02.09.2009 | | Autor: | xPae |
Hallo,
ja ich erhalte auch:
[mm] ...=\bruch{(2*x+3)^{\bruch{3}{2}}}{3}
[/mm]
Gruß xPae
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Mi 02.09.2009 | | Autor: | splin |
Mich interessiert nur, warum lieber Loddar nicht zufrieden mit diesem Ergebnis war.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Mi 02.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo splin!
Substituiere hier: $z \ := \ [mm] \cos(x)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Mi 02.09.2009 | | Autor: | splin |
Hier ist der Lösungsweg für c)
[mm] \integral [/mm] e^cosx sinx dx z=cosx --> [mm] \bruch{dz}{-sinx}= [/mm] dx
eingesetzt:
- [mm] \integral e^z [/mm] dz
integriert:
[mm] -e^z [/mm] + c
zurücksubstituiert:
[mm] -\-e^{-sinx}
[/mm]
Ist es richtig?
Gruß
Splin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Mi 02.09.2009 | | Autor: | xPae |
Hallo,
Deine Rücksubstitution ist falsch.
Du hast doch z:=cos(x)!
es folgt also:
[mm] ...=-e^{cos(x)}
[/mm]
Lg xPae
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 Mi 02.09.2009 | | Autor: | splin |
Stimmt.
Danke.
Gruß
Splin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Mi 02.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo splin!
Wieder: funktioniert die Probe durch Ableiten?
Du musst hier erst eine Partialbruchzerlegung durchführen:
[mm] $$\bruch{1}{x*\left(1+x^2\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x}+\bruch{B*x+C}{1+x^2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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